Задание 7 ЕГЭ по профильной математике

1. 1. Условие существования правой части: x ≥ 0 (корень неотрицателен).
2. 2. Возводим в квадрат: 15 − 2x = x², то есть x² + 2x − 15 = 0.
3. 3. По теореме Виета корни x = 3 и x = −5.
4. 4. Условию x ≥ 0 удовлетворяет только x = 3. Проверка: √(15 − 6) = √9 = 3 = x — верно.
5. 5. Корень −5 посторонний (он отрицателен). Больший из подходящих корней — 3.

Ответ: 3

1. 1. Приводим к одному основанию. 0,4 = 4/10 = 2/5.
2. 2. 6,25 = 625/100 = 25/4 = (5/2)². А 5/2 — это перевёрнутое 2/5, то есть (2/5)⁻¹. Значит 6,25 = (2/5)⁻².
3. 3. Уравнение: (2/5)^x−1 = (2/5)⁻².
4. 4. Основание 2/5 положительно и не равно 1, поэтому показательная функция строго монотонна и показатели можно приравнять: x − 1 = −2.
5. 5. x = −1. Проверка: 0,4⁻¹⁻¹ = 0,4⁻² = 1/0,16 = 6,25 — верно.

Ответ: Ответ: −1

1. 1. ОДЗ: 7 − 6x > 0, то есть x < 7/6.
2. 2. По определению логарифма: 7 − 6x = (1/7)⁻² = 7² = 49.
3. 3. −6x = 49 − 7 = 42, откуда x = −7.
4. 4. Проверка ОДЗ: −7 < 7/6 — корень подходит.
5. 5. Прямая проверка: 7 − 6·(−7) = 7 + 42 = 49, а log_1/749 = −2, потому что (1/7)⁻² = 49. Верно.

Ответ: Ответ: −7

1. 1. Левая часть неотрицательна по определению корня, поэтому обязательное условие: x + 2 ≥ 0, то есть x ≥ −2. Отдельно требовать x + 22 ≥ 0 не нужно — после возведения подкоренное окажется равным (x+2)², то есть неотрицательным автоматически.
2. 2. Возводим обе части в квадрат: x + 22 = (x + 2)² = x² + 4x + 4.
3. 3. Переносим: x² + 4x + 4 − x − 22 = 0, то есть x² + 3x − 18 = 0.
4. 4. Дискриминант: D = 3² − 4·1·(−18) = 9 + 72 = 81, √D = 9.
5. 5. Корни: x₁ = (−3 + 9)/2 = 3 и x₂ = (−3 − 9)/2 = −6.
6. 6. Отбор: x = −6 не удовлетворяет условию x ≥ −2. Проверим напрямую: √(−6 + 22) = √16 = 4, а x + 2 = −4. Получилось 4 = −4 — неверно, корень посторонний.
7. 7. Остаётся x = 3. Проверка: √(3 + 22) = √25 = 5 и 3 + 2 = 5 — верно.

Ответ: Ответ: 3

1. 1. ОДЗ достаточно записать по одному аргументу — тому, что проще: 2x − 3 > 0, то есть x > 1,5 (второй аргумент на решениях равен первому, значит тоже положителен).
2. 2. Основания одинаковы, функция log₅ строго возрастает — приравниваем аргументы: x² − 2x = 2x − 3.
3. 3. x² − 4x + 3 = 0. По теореме Виета корни x = 1 и x = 3 (сумма 4, произведение 3).
4. 4. Отбор: x = 1 не проходит ОДЗ (1 < 1,5). Проверим: при x = 1 аргумент 2x − 3 = −1 < 0 — логарифма не существует.
5. 5. Корень x = 3: аргументы 3² − 2·3 = 3 и 2·3 − 3 = 3, оба положительны и равны. Верно.

Ответ: Ответ: 3