ЕГЭ · Математика (профиль) · Алгебра и вычисления
Степени и корни: свойства и преобразования
Степени — фундамент всей алгебры профиля. Без беглого владения ими не решить ни задание 8, ни показательные уравнения.
🎯 ЕГЭ профиль: задание 7 (простейшие уравнения) и задание 8 (вычисления: степени, корни, логарифмы, тригонометрия).
- ⚠Пишут √(a²) = a вместо |a| и теряют знак
- ⚠Складывают показатели при разных основаниях степени
- ⚠Забывают ОДЗ корня чётной степени (подкоренное ≥ 0)
Степени и корни: свойства
| am · an | при умножении показатели складывают: = am+n |
|---|---|
| am : an | при делении вычитают: = am−n |
| (am)n | при возведении в степень перемножают: = am·n |
| (a·b)n | степень произведения: = an · bn |
| a−n | отрицательный показатель = 1/an; а a0 = 1 (при a ≠ 0) |
Определение
Дробный показатель — это корень — a1/n = ⁿ√a, а am/n = ⁿ√(am). Например, 82/3 = (∛8)² = 2² = 4.
Главный приём задания 8 — привести все числа к одному основанию. Увидел 4, 8, 16, 32 — это степени двойки: 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵.
Ловушка: (am)n и am·an — не одно и то же. В первом показатели перемножают, во втором — складывают. Проверь на числах: (2²)³ = 2⁶ = 64, а 2²·2³ = 2⁵ = 32.
Разбор примера
Приводим к одному основанию
Вычислите 251,5 · 5−2.
Показать решение по шагам
- 1. 25 = 5², поэтому 251,5 = (5²)1,5 = 52·1,5 = 5³.
- 2. Теперь 5³ · 5−2 = 53−2 = 5¹ = 5.
- 3. Всё выражение свелось к одной степени пятёрки.
Ответ: 5
Разбор примера
Отрицательный дробный показатель
Вычислите (1/16)−0,25.
Показать решение по шагам
- 1. Отрицательный показатель переворачивает дробь: (1/16)−0,25 = 160,25.
- 2. 0,25 = 1/4, значит 161/4 = ⁴√16.
- 3. 16 = 2⁴, поэтому ⁴√16 = 2.
Ответ: 2
| ⁿ√a при чётном n | определён только при a ≥ 0, и сам корень неотрицателен: √16 = 4, а не ±4 |
|---|---|
| ⁿ√a при нечётном n | определён при любом a: ∛(−27) = −3, ⁵√(−32) = −2 |
| √(a²) | = |a|, а не a. Если a < 0, ответ будет −a. Это первая по частоте ошибка в задании 8 |
| √a · √b = √(ab) | верно только при a ≥ 0 и b ≥ 0. Через √((−4)·(−9)) = √36 = 6 идти можно, а через √(−4)·√(−9) — нет |
| am/n | степень с дробным показателем определяют при a > 0. Для отрицательного основания пишут только корень нечётной степени |
| √(a²b) при b ≥ 0 | = |a|·√b — множитель выносится из-под корня по модулю |
Алгоритм задания 8 на степени: четыре шага
Шаг 1 — выписать все основания и разложить их на простые множители. Наизусть нужны: 4 = 2², 8 = 2³, 16 = 2⁴, 32 = 2⁵, 64 = 2⁶, 27 = 3³, 81 = 3⁴, 125 = 5³, 0,5 = 2−1, 0,25 = 2−2, 0,2 = 5−1, 0,04 = 5−2. Шаг 2 — заменить каждое число степенью общего основания. Шаг 3 — свернуть по свойствам: при умножении показатели складываются, при делении вычитаются, при возведении степени в степень перемножаются. Шаг 4 — посчитать оставшуюся одну степень. Если основания принципиально разные (2 и 3, 3 и 5), проверь два обходных пути: одинаковые показатели сворачиваются как an·bn = (ab)n и an/bn = (a/b)n, а составное основание раскладывается: 15−3 = 3−3·5−3, 6n = 2n·3n.
Разбор примера
Степень в степени и отрицательный показатель
Найдите значение выражения (2−3)−2 · 2−7.
Показать решение по шагам
- 1. Внешняя степень: показатели перемножаются, (2−3)−2 = 2(−3)·(−2) = 2⁶. Минус на минус дал плюс — это место, где чаще всего ошибаются в знаке.
- 2. Осталось произведение степеней с одним основанием: 2⁶ · 2−7 = 26 + (−7) = 2−1.
- 3. Отрицательный показатель — это дробь: 2−1 = 1/2 = 0,5.
- 4. Проверка «в лоб»: 2−3 = 1/8; (1/8)−2 = 8² = 64; 2−7 = 1/128; 64 · (1/128) = 0,5. Сошлось.
Ответ: Ответ: 0,5
Разбор примера
Разные основания сворачиваются в одно
Найдите значение выражения (3−2 · 5−3) : 15−3.
Показать решение по шагам
- 1. 15 = 3 · 5, поэтому 15−3 = (3·5)−3 = 3−3 · 5−3.
- 2. Записываем дробь: (3−2 · 5−3) / (3−3 · 5−3).
- 3. Пятёрки сокращаются полностью: 5−3 : 5−3 = 5⁰ = 1.
- 4. Тройки: 3−2 : 3−3 = 3−2 − (−3) = 3¹ = 3.
- 5. Проверка: 3−2·5−3 = (1/9)·(1/125) = 1/1125; 15−3 = 1/3375; 3375 : 1125 = 3. Сошлось.
Ответ: Ответ: 3
Разбор примера
Корень чётной степени: модуль, а не «сокращение»
Найдите значение выражения √((3 − √10)²) − √10.
Показать решение по шагам
- 1. Соблазн «сократить» корень с квадратом и написать 3 − √10 — и есть ловушка. Верная формула: √(a²) = |a|.
- 2. Определяем знак числа a = 3 − √10. Так как 3 = √9, а √9 < √10, число 3 − √10 отрицательно.
- 3. Модуль отрицательного числа меняет знак: |3 − √10| = −(3 − √10) = √10 − 3.
- 4. Подставляем: (√10 − 3) − √10 = −3.
- 5. Численная прикидка: √10 ≈ 3,162; (3 − 3,162)² ≈ 0,0262; √0,0262 ≈ 0,162; 0,162 − 3,162 = −3. Сошлось.
Ответ: Ответ: −3
Если основания разные и друг к другу не сводятся, посмотри на показатели: одинаковый показатель позволяет объединить основания. Так 12⁵ : 4⁵ = (12/4)⁵ = 3⁵ = 243, а считать 12⁵ = 248 832 не нужно.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №7 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.