Показательные уравнения

1. 1. 4 = 2², 8 = 2³. Переписываем: 2^2(x−5) = 2^3(x+3).
2. 2. Приравниваем показатели: 2(x−5) = 3(x+3).
3. 3. 2x − 10 = 3x + 9, откуда −x = 19, x = −19.

Ответ: −19

1. 1. Слева степень пятёрки, справа десятичная дробь. Пока основания разные, приравнивать нечего — значит, надо увидеть в 0,04 степень той же пятёрки.
2. 2. 0,04 = 4/100 = 1/25. А 25 = 5², поэтому 1/25 = 5⁻². Отрицательный показатель — это и есть «единица делить на».
3. 3. Уравнение приняло вид 5^x = 5⁻². Показательная функция строго монотонна, поэтому равенство степеней с одинаковым основанием равносильно равенству показателей.
4. 4. x = −2.
5. 5. Где теряют баллы. Пишут x = 2, потеряв минус: дробь меньше единицы, а основание больше единицы, значит показатель обязан быть отрицательным. Полезная самопроверка на уровне здравого смысла: 5 в положительной степени не может дать 0,04.

Ответ: −2

1. 1. К одному основанию тут свести нечего: мешает слагаемое без степени. Смотрим на структуру — 9^x = (3²)^x = (3^x)², то есть перед нами квадрат той же величины, что и во втором слагаемом.
2. 2. Замена t = 3^x. Важное ограничение: показательная функция принимает только положительные значения, поэтому t > 0. Уравнение становится t² − 4t + 3 = 0.
3. 3. По теореме Виета t₁ = 1, t₂ = 3 (сумма 4, произведение 3). Оба значения положительны, значит оба дают решения.
4. 4. Обратная замена. t = 1: 3^x = 1 = 3⁰, откуда x = 0. t = 3: 3^x = 3¹, откуда x = 1.
5. 5. Больший из корней — 1.
6. 6. Где теряют баллы. Два типичных провала. Первый — записывают в ответ найденные t вместо x: «1 и 3» вместо «0 и 1». Обратная замена — отдельный шаг, его нельзя пропускать. Второй — забывают, что 9^x = (3^x)², и пробуют 9^x = 3^2x подставить как 2t: степень удваивается, а не множится на два.

Ответ: 1

1. 1. Слева основание меньше единицы, справа целое число. Приводим обе части к одному основанию, и удобнее всего взять двойку: и 0,5, и 16 через неё выражаются.
2. 2. 0,5 = 1/2 = 2⁻¹. Это ключевой шаг: дробное основание превращается в двойку с отрицательным показателем.
3. 3. Левая часть: 0,5^x = (2⁻¹)^x = 2^−x. При возведении степени в степень показатели перемножаются.
4. 4. Правая часть: 16 = 2⁴.
5. 5. Уравнение приняло вид 2^−x = 2⁴. Основания совпали, показательная функция строго монотонна, поэтому приравниваем показатели: −x = 4.
6. 6. x = −4. Проверка: 0,5⁻⁴ = 1/0,5⁴ = 1/0,0625 = 16 — верно.
7. 7. Где теряют баллы. Теряют минус при переходе от 0,5 к двойке и отвечают 4. Ориентир, который не подводит: если основание меньше единицы, функция убывает, и чтобы получить число больше единицы, показатель обязан быть отрицательным. Быстрая прикидка: 0,5 в положительной степени всегда меньше единицы, а справа стоит 16.

Ответ: −4