Задание 8 ЕГЭ по профильной математике

1. 1. Сначала свернём показатель: log₂ 3 + log₂ 2 = log₂ (3·2) = log₂ 6 (логарифм произведения).
2. 2. Получаем 2^{log₂ 6}.
3. 3. По основному тождеству a^{log_a b} = b, значит 2^{log₂ 6} = 6.

Ответ: 6

1. 1. По свойству разности: log_0,2 100 − log_0,2 4 = log_0,2 (100/4) = log_0,2 25.
2. 2. 0,2 = 1/5 = 5⁻¹, а 25 = 5². Значит нужен показатель c: (5⁻¹)^c = 5², то есть −c = 2.
3. 3. Отсюда c = −2.

Ответ: −2

1. 1. Основание степени 9, основание логарифма 3. Приводим: 9 = 3², поэтому 9^log₃5 = (3²)^log₃5 = 3^2·log₃5.
2. 2. Двойку вносим внутрь логарифма: 2·log₃5 = log₃(5²) = log₃25.
3. 3. Работает основное тождество a^{log_a b} = b: 3^log₃25 = 25.
4. 4. Остаётся 25 · 5⁻¹ = 25 : 5 = 5.
5. 5. Проверка численно: log₃5 ≈ 1,465; 9¹,465 ≈ 25,0; 25 : 5 = 5. Сошлось.

Ответ: Ответ: 5

1. 1. Переходим ко второму множителю в основании 2: log₆8 = log₂8 / log₂6.
2. 2. Подставляем: log₂6 · (log₂8 / log₂6) = log₂8 — множитель log₂6 сокращается.
3. 3. 8 = 2³, значит log₂8 = 3.
4. 4. Общее правило, которое стоит запомнить и применять сразу: log_a b · log_b c = log_a c.

Ответ: Ответ: 3

1. 1. В каждой скобке заменяем единицу логарифмом с тем же основанием: 1 = log₄4 в первой и 1 = log₉9 во второй.
2. 2. Первая скобка: log₄4 − log₄36 = log₄(4/36) = log₄(1/9) = −log₄9.
3. 3. Вторая скобка: log₉9 − log₉36 = log₉(9/36) = log₉(1/4) = −log₉4.
4. 4. Перемножаем: (−log₄9) · (−log₉4) = log₄9 · log₉4.
5. 5. По формуле log_a b = 1/log_b a это произведение равно 1.
6. 6. Численная проверка: log₄36 ≈ 2,585, первая скобка ≈ −1,585; log₉36 ≈ 1,631, вторая ≈ −0,631; (−1,585)·(−0,631) ≈ 1,000. Сошлось.
7. 7. Приём работает всегда, когда аргумент — произведение оснований: 36 = 4·9.

Ответ: Ответ: 1