ЕГЭ 2027 · Математика (профиль)

Задание 6 ЕГЭ по профильной математике

Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.

Аналитика ЕГЭ: №6 — «Найдите математическое ожидание / дисперсию случайной величины»

Баллы: 1 первичный балл, часть 1, краткий ответ
Частота: в каждом варианте с 2027 года

Частые ловушки

Считают дисперсию как квадрат математического ожидания: на самом деле D(X) = M(X²) − (M(X))²
При линейном преобразовании умножают дисперсию на a вместо a²: D(aX + b) = a²·D(X)
Прибавляют к дисперсии свободный член: сдвиг b дисперсию не меняет вовсе
В лотерейной задаче забывают невыигрышные билеты: они входят в число всех исходов, хотя дают нулевой вклад в сумму
Путают дисперсию и стандартное отклонение: σ = √D, и просят иногда именно σ
Для биномиальной схемы берут M = n или M = p: верно M = np, а D = np(1 − p)

Совет. В этой линии всего пять формул, и они закрывают весь банк. Выпиши их на отдельный лист: M(X) = Σ xᵢpᵢ, D(X) = M(X²) − (M(X))², σ = √D, M(aX + b) = aM(X) + b, D(aX + b) = a²D(X).

Разборы

Разбор примера

Дисперсия по таблице распределения

Случайная величина X задана таблицей: значения 5, 9, 11; вероятности 0,1; 0,7; 0,2. Найдите дисперсию.

Показать решение по шагам

1. Проверяем сумму вероятностей: 0,1 + 0,7 + 0,2 = 1. Таблица корректна, можно считать.
2. Математическое ожидание: M(X) = 5 · 0,1 + 9 · 0,7 + 11 · 0,2 = 0,5 + 6,3 + 2,2 = 9.
3. Ожидание квадрата: возводим в квадрат значения, вероятности не трогаем. M(X²) = 25 · 0,1 + 81 · 0,7 + 121 · 0,2 = 2,5 + 56,7 + 24,2 = 83,4.
4. Дисперсия: D(X) = M(X²) − (M(X))² = 83,4 − 81 = 2,4.
5. Проверка на разумность: значения лежат от 5 до 11, разброс небольшой, потому что 70 % массы сидит в точке 9. Дисперсия 2,4 и стандартное отклонение σ = √2,4 ≈ 1,55 это подтверждают.
6. Частая ошибка на третьем шаге — возвести в квадрат вероятности. Квадрат берётся только у значений величины.

Ответ: 2,4

Разбор примера

Лотерея: математическое ожидание выигрыша

Организаторы лотереи выпустили 1000 билетов. Выигрыш 100 рублей дают 51 билет, 500 рублей — 26 билетов, 10 000 рублей — 41 билет, 50 000 рублей — 58 билетов. Остальные билеты не выигрывают ничего. Найдите математическое ожидание выигрыша на один купленный билет.

Показать решение по шагам

1. Случайная величина здесь — размер выигрыша по одному билету. Её значения: 100, 500, 10 000, 50 000 и 0 (для всех остальных билетов).
2. Вероятности берём как доли билетов: 51/1000, 26/1000, 41/1000, 58/1000. Невыигрышных билетов 1000 − 51 − 26 − 41 − 58 = 824, их вероятность 824/1000.
3. Нулевое значение в сумму ничего не добавит, но проверить его полезно: сумма всех вероятностей должна дать единицу, и она даёт.
4. Считаем: M = (100 · 51 + 500 · 26 + 10 000 · 41 + 50 000 · 58) / 1000.
5. В числителе: 5100 + 13 000 + 410 000 + 2 900 000 = 3 328 100. Делим на 1000: M = 3328,1 рубля.
6. Смысл числа: при покупке очень большого числа билетов средний выигрыш на билет будет близок к 3328,1 рубля. Поэтому цена билета в реальной лотерее всегда выше этой величины — иначе организатор работал бы в убыток.

Ответ: 3328,1

Разбор примера

Дисперсия числа успехов: биномиальное распределение

Станок изготавливает детали. Вероятность того, что деталь окажется бракованной, равна 0,2. Партия состоит из 40 деталей, брак в разных деталях появляется независимо. Найдите дисперсию числа бракованных деталей в партии.

Показать решение по шагам

1. Случайная величина X — число бракованных деталей в партии. Она принимает значения от 0 до 40, и строить для неё таблицу распределения из 41 строки, конечно, никто не станет.
2. Опыт повторяется n = 40 раз, опыты независимы, в каждом «успех» (брак) наступает с одной и той же вероятностью p = 0,2. Это биномиальное распределение, и для него есть готовые формулы.
3. Математическое ожидание: M(X) = n·p = 40 · 0,2 = 8 бракованных деталей в среднем.
4. Дисперсия: D(X) = n·p·(1 − p) = 40 · 0,2 · 0,8.
5. Считаем: 40 · 0,2 = 8, затем 8 · 0,8 = 6,4.
6. Стандартное отклонение для наглядности: σ = √6,4 ≈ 2,53. То есть обычно в партии оказывается 8 бракованных деталей плюс-минус две-три.
7. Где теряют баллы. Пишут D(X) = n·p = 8, путая дисперсию с математическим ожиданием. Формулы различаются одним множителем (1 − p), и он всегда меньше единицы, поэтому дисперсия биномиальной величины всегда меньше её ожидания. Это удобная проверка: если дисперсия получилась больше ожидания, где-то ошибка.

Ответ: 6,4

Разбор примера

Линейное преобразование: что происходит с дисперсией

Известно, что математическое ожидание случайной величины X равно 8, а её дисперсия равна 16. Найдите дисперсию случайной величины Y = 4X + 25.

Показать решение по шагам

1. Само распределение X неизвестно, и оно не нужно: у ожидания и дисперсии есть свойства, работающие для любой случайной величины.
2. Свойство первое: прибавление константы не меняет разброс. Весь набор значений просто сдвигается по числовой оси на 25, а расстояния между ними остаются прежними, значит D(X + 25) = D(X).
3. Свойство второе: умножение на число k растягивает все отклонения в k раз, а дисперсия — это средний квадрат отклонения, поэтому она растёт в k² раз: D(kX) = k²·D(X).
4. Собираем: D(4X + 25) = 4²·D(X) = 16 · 16 = 256.
5. Значение M(X) = 8 в вычислении не понадобилось — оно нужно было бы для ожидания: M(Y) = 4·8 + 25 = 57.
6. Проверка через стандартное отклонение: σ(X) = √16 = 4, а σ(Y) = |4|·σ(X) = 16, значит D(Y) = 16² = 256. Совпало.
7. Где теряют баллы. Пишут D(Y) = 4·16 + 25 = 89, перенося на дисперсию правило для ожидания. У ожидания преобразование линейное: M(kX + b) = k·M(X) + b. У дисперсии константа исчезает, а коэффициент возводится в квадрат. Смешение этих двух правил — самая частая ошибка линии 6.

Ответ: 256

Уроки по этой линии

Задание 6: случайная величина, математическое ожидание и дисперсия

Потренируй задание 6

Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.

Начать бесплатно

Аналитика ЕГЭ: №6 — «Найдите математическое ожидание / дисперсию случайной величины»

Баллы

1 первичный балл, часть 1, краткий ответ

Частота

в каждом варианте с 2027 года

Частые ловушки

Считают дисперсию как квадрат математического ожидания: на самом деле D(X) = M(X²) − (M(X))²

При линейном преобразовании умножают дисперсию на a вместо a²: D(aX + b) = a²·D(X)

Прибавляют к дисперсии свободный член: сдвиг b дисперсию не меняет вовсе

В лотерейной задаче забывают невыигрышные билеты: они входят в число всех исходов, хотя дают нулевой вклад в сумму

Путают дисперсию и стандартное отклонение: σ = √D, и просят иногда именно σ

Для биномиальной схемы берут M = n или M = p: верно M = np, а D = np(1 − p)

Разборы

Разбор примера

Дисперсия по таблице распределения

Случайная величина X задана таблицей: значения 5, 9, 11; вероятности 0,1; 0,7; 0,2. Найдите дисперсию.

Показать решение по шагам

1. Проверяем сумму вероятностей: 0,1 + 0,7 + 0,2 = 1. Таблица корректна, можно считать.
2. Математическое ожидание: M(X) = 5 · 0,1 + 9 · 0,7 + 11 · 0,2 = 0,5 + 6,3 + 2,2 = 9.
3. Ожидание квадрата: возводим в квадрат значения, вероятности не трогаем. M(X²) = 25 · 0,1 + 81 · 0,7 + 121 · 0,2 = 2,5 + 56,7 + 24,2 = 83,4.
4. Дисперсия: D(X) = M(X²) − (M(X))² = 83,4 − 81 = 2,4.
5. Проверка на разумность: значения лежат от 5 до 11, разброс небольшой, потому что 70 % массы сидит в точке 9. Дисперсия 2,4 и стандартное отклонение σ = √2,4 ≈ 1,55 это подтверждают.
6. Частая ошибка на третьем шаге — возвести в квадрат вероятности. Квадрат берётся только у значений величины.

Ответ: 2,4

Разбор примера

Лотерея: математическое ожидание выигрыша

Показать решение по шагам

1. Случайная величина здесь — размер выигрыша по одному билету. Её значения: 100, 500, 10 000, 50 000 и 0 (для всех остальных билетов).
2. Вероятности берём как доли билетов: 51/1000, 26/1000, 41/1000, 58/1000. Невыигрышных билетов 1000 − 51 − 26 − 41 − 58 = 824, их вероятность 824/1000.
3. Нулевое значение в сумму ничего не добавит, но проверить его полезно: сумма всех вероятностей должна дать единицу, и она даёт.
4. Считаем: M = (100 · 51 + 500 · 26 + 10 000 · 41 + 50 000 · 58) / 1000.
5. В числителе: 5100 + 13 000 + 410 000 + 2 900 000 = 3 328 100. Делим на 1000: M = 3328,1 рубля.
6. Смысл числа: при покупке очень большого числа билетов средний выигрыш на билет будет близок к 3328,1 рубля. Поэтому цена билета в реальной лотерее всегда выше этой величины — иначе организатор работал бы в убыток.

Ответ: 3328,1

Разбор примера

Дисперсия числа успехов: биномиальное распределение

Показать решение по шагам

1. Случайная величина X — число бракованных деталей в партии. Она принимает значения от 0 до 40, и строить для неё таблицу распределения из 41 строки, конечно, никто не станет.
2. Опыт повторяется n = 40 раз, опыты независимы, в каждом «успех» (брак) наступает с одной и той же вероятностью p = 0,2. Это биномиальное распределение, и для него есть готовые формулы.
3. Математическое ожидание: M(X) = n·p = 40 · 0,2 = 8 бракованных деталей в среднем.
4. Дисперсия: D(X) = n·p·(1 − p) = 40 · 0,2 · 0,8.
5. Считаем: 40 · 0,2 = 8, затем 8 · 0,8 = 6,4.
6. Стандартное отклонение для наглядности: σ = √6,4 ≈ 2,53. То есть обычно в партии оказывается 8 бракованных деталей плюс-минус две-три.
7. Где теряют баллы. Пишут D(X) = n·p = 8, путая дисперсию с математическим ожиданием. Формулы различаются одним множителем (1 − p), и он всегда меньше единицы, поэтому дисперсия биномиальной величины всегда меньше её ожидания. Это удобная проверка: если дисперсия получилась больше ожидания, где-то ошибка.

Ответ: 6,4

Разбор примера

Линейное преобразование: что происходит с дисперсией

Показать решение по шагам

1. Само распределение X неизвестно, и оно не нужно: у ожидания и дисперсии есть свойства, работающие для любой случайной величины.
2. Свойство первое: прибавление константы не меняет разброс. Весь набор значений просто сдвигается по числовой оси на 25, а расстояния между ними остаются прежними, значит D(X + 25) = D(X).
3. Свойство второе: умножение на число k растягивает все отклонения в k раз, а дисперсия — это средний квадрат отклонения, поэтому она растёт в k² раз: D(kX) = k²·D(X).
4. Собираем: D(4X + 25) = 4²·D(X) = 16 · 16 = 256.
5. Значение M(X) = 8 в вычислении не понадобилось — оно нужно было бы для ожидания: M(Y) = 4·8 + 25 = 57.
6. Проверка через стандартное отклонение: σ(X) = √16 = 4, а σ(Y) = |4|·σ(X) = 16, значит D(Y) = 16² = 256. Совпало.
7. Где теряют баллы. Пишут D(Y) = 4·16 + 25 = 89, перенося на дисперсию правило для ожидания. У ожидания преобразование линейное: M(kX + b) = k·M(X) + b. У дисперсии константа исчезает, а коэффициент возводится в квадрат. Смешение этих двух правил — самая частая ошибка линии 6.

Ответ: 256