Сложение вероятностей и противоположное событие

1. 1. Обозначим A и B — «кофе закончился» в первом и втором. P(A) = P(B) = 0,3.
2. 2. «Кофе останется в обоих» = ни A, ни B: P = 0,55. Значит P(A или B) = 1 − 0,55 = 0,45.
3. 3. По формуле сложения: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B), то есть 0,45 = 0,3 + 0,3 − P(оба).
4. 4. P(оба) = 0,6 − 0,45 = 0,15.

Ответ: 0,15

1. 1. Обозначим события: A — «температура ниже 17», B — «температура ниже 24». Событие A входит в B: если температура ниже 17, то она и ниже 24. Такие события называют вложенными.
2. 2. Интересующее нас событие «температура от 17 до 24» — это ровно та часть B, которая не попала в A.
3. 3. Для вложенных событий работает вычитание: P(B без A) = P(B) − P(A).
4. 4. P = 0,66 − 0,2 = 0,46.
5. 5. Наглядная проверка на числовой прямой: отрезок «ниже 24» состоит из куска «ниже 17» и куска «от 17 до 24»; их вероятности складываются в 0,66, значит второй кусок равен 0,46. И действительно 0,2 + 0,46 = 0,66.
6. 6. Где теряют баллы. Складывают вероятности: 0,2 + 0,66 = 0,86. Складывать можно только несовместные события, а здесь одно содержится в другом, и сложение даёт бессмыслицу — «ниже 17» посчитали бы дважды. Признак вложенности легко заметить по условию: оба события описаны словом «ниже», просто с разными порогами.

Ответ: 0,46

1. 1. Формулировка «хотя бы в одном» почти всегда решается через противоположное событие: считать по случаям (только в первом, только во втором, в обоих) дольше и рискованнее.
2. 2. Противоположное к «закончится хотя бы в одном» — это «не закончится ни в одном», то есть «кофе останется в обоих». Его вероятность дана: 0,65.
3. 3. Сумма вероятностей события и противоположного ему равна единице.
4. 4. P(хотя бы в одном) = 1 − 0,65 = 0,35.
5. 5. Обратите внимание: число 0,2 в вычислении не понадобилось. Оно понадобилось бы, если бы спрашивали про «закончится в обоих» — тогда из формулы сложения P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B) получилось бы 0,35 = 0,2 + 0,2 − P(оба), то есть P(оба) = 0,05.
6. 6. Где теряют баллы. Складывают 0,2 + 0,2 = 0,4 и записывают это как «хотя бы в одном». Так событие «закончился в обоих» посчитано дважды, и ответ завышен. Формула сложения содержит вычитаемое P(A и B) именно для того, чтобы убрать этот двойной счёт.

Ответ: 0,35

1. 1. Снова «хотя бы один» — значит снова идём через противоположное событие. Противоположное к «сломался хотя бы один» — это «не сломался ни один», то есть все три проработали год.
2. 2. Элементы независимы, поэтому вероятность того, что все три выдержали, равна произведению: каждый выдерживает с вероятностью 1 − 0,5 = 0,5.
3. 3. P(все целы) = 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
4. 4. P(хотя бы один сломался) = 1 − 0,125 = 0,875.
5. 5. Проверка перебором: сломаться может ровно один (3 способа), ровно два (3 способа) или все три (1 способ) — всего 7 исходов из 8 равновероятных, то есть 7/8 = 0,875. Сошлось, но перебор занял втрое больше времени.
6. 6. Где теряют баллы. Считают P = 3 · 0,5 = 1,5 — вероятность больше единицы, что невозможно. Вероятности событий «сломался первый», «сломался второй», «сломался третий» не складываются: события совместны, они могут произойти одновременно. Общая формула, которую стоит запомнить: P(хотя бы один) = 1 − (1 − p)ⁿ.

Ответ: 0,875