ЕГЭ 2027 · Математика (профиль)
Задание 5 ЕГЭ по профильной математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ЕГЭ: №4–№5 (сложение и противоположное событие)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
Частые ловушки
- Складывают вероятности совместных событий без вычитания пересечения
- Путают противоположное событие с независимым
- Забывают P(не A) = 1 − P(A)
Совет. Для «хотя бы один» удобно считать через противоположное событие: 1 − P(ни одного)
Аналитика ЕГЭ: №5 (умножение и независимые события)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
Частые ловушки
- Умножают вероятности зависимых событий как независимые
- Путают «и» (умножение) с «или» (сложение)
- Забывают менять вероятность при выборе без возврата
Совет. «И» → умножаем, «или» → складываем; при выборе без возврата пересчитывай вероятность на шаге
Аналитика ЕГЭ: №5 (сложные схемы: деревья)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
Частые ловушки
- Теряют ветви дерева и часть исходов
- Складывают вместо умножения вдоль ветви
- Забывают просуммировать вероятности всех подходящих ветвей
- ФИПИ-2025: задание 5 взяли лишь чуть больше 60 % — ФИПИ называет это главным резервом роста. Формула без разбора схемы эксперимента здесь не работает
Совет. Рисуй дерево: вдоль ветви умножай, между ветвями складывай
Разборы
Разбор примера
Хотя бы одна лампа
Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой за год 0,7, лампы независимы. Найдите вероятность, что хотя бы одна не перегорит.
Показать решение по шагам
- 1. «Хотя бы одна не перегорит» — противоположно «все перегорят».
- 2. P(все три перегорят) = 0,7·0,7·0,7 = 0,343.
- 3. P(хотя бы одна цела) = 1 − 0,343 = 0,657.
Ответ: 0,657
Разбор примера
Выбор без возврата: меняются оба числа в дроби
В урне 3 белых и 3 чёрных шара. Наудачу подряд вынимают два шара и обратно не возвращают. Найдите вероятность того, что первый шар белый, а второй чёрный.
Показать решение по шагам
- 1. Первый шаг: всего 6 шаров, белых 3. P(первый белый) = 3/6 = 0,5.
- 2. Второй шаг считаем при условии, что белый уже вынут и не возвращён. В урне осталось 5 шаров: 2 белых и 3 чёрных.
- 3. P(второй чёрный | первый белый) = 3/5 = 0,6.
- 4. События идут одно за другим — перемножаем: 0,5 · 0,6 = 0,3.
- 5. Типичная ошибка — взять 3/6 · 3/6 = 0,25: так считают при выборе С возвращением, когда состав урны не меняется.
Ответ: Ответ: 0,3
Разбор примера
Хотя бы одно попадание — через противоположное событие
Вероятность того, что стрелок попадёт в мишень при одном выстреле, равна 0,8. Стрелок делает три выстрела. Найдите вероятность того, что он попадёт хотя бы один раз.
Показать решение по шагам
- 1. Прямой путь потребовал бы сложить вероятности «ровно один», «ровно два» и «ровно три» — три слагаемых с сочетаниями.
- 2. Короткий путь: противоположное событие к «хотя бы один раз» — это «ни разу», то есть три промаха подряд.
- 3. Вероятность одного промаха: 1 − 0,8 = 0,2. Выстрелы независимы, поэтому P(три промаха) = 0,2 · 0,2 · 0,2 = 0,008.
- 4. P(хотя бы одно попадание) = 1 − 0,008 = 0,992.
- 5. Проверка порядком величины: стрелок хороший, три выстрела — вероятность обязана быть близка к единице. 0,992 выглядит правдоподобно.
Ответ: Ответ: 0,992
Разбор примера
Классика ЕГЭ: два автомата и «ровно в одном»
В торговом зале два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня кофе закончится в автомате, для каждого автомата равна 0,4. Вероятность того, что кофе останется в обоих автоматах, равна 0,45. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе закончится ровно в одном автомате.
Показать решение по шагам
- 1. Обозначим: A — кофе закончился в первом автомате, B — во втором. По условию P(A) = P(B) = 0,4.
- 2. «Кофе останется в обоих» — это событие, противоположное «кофе закончится хотя бы в одном». Значит P(A∪B) = 1 − 0,45 = 0,55.
- 3. Формула сложения: P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B). Подставляем: 0,55 = 0,4 + 0,4 − P(A∩B).
- 4. P(A∩B) = 0,8 − 0,55 = 0,25 — с такой вероятностью кофе закончится в обоих автоматах сразу.
- 5. «Ровно в одном» — это «хотя бы в одном» минус «в обоих»: 0,55 − 0,25 = 0,3.
- 6. Внимание к ловушке: автоматы стоят рядом и обслуживаются одинаково, поэтому события НЕ независимы. Если бы мы перемножили 0,4·0,4 = 0,16, ответ был бы неверным — 0,25 ≠ 0,16.
Ответ: Ответ: 0,3
Разбор примера
Вложенные события: разность вероятностей
Вероятность того, что новый телевизор прослужит больше года, равна 0,94. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Показать решение по шагам
- 1. Событие «прослужит больше двух лет» целиком содержится в событии «прослужит больше года»: если телевизор дожил до двух лет, то год он точно пережил.
- 2. Значит событие «больше года, но меньше двух» — это разность этих двух событий.
- 3. Для вложенных событий вероятность разности равна разности вероятностей: 0,94 − 0,89 = 0,05.
- 4. Умножать здесь нечего: это не независимые события, а одно внутри другого.
Ответ: Ответ: 0,05
Уроки по этой линии
- Классическая вероятность — открыт бесплатно
- Сложение вероятностей и противоположное событие
- Умножение вероятностей и независимые события
- Сложные схемы: деревья и подсчёт
- Описательная статистика: среднее, медиана, мода, размах
- Комбинаторика: правило умножения, перестановки, размещения, сочетания
Потренируй задание 5
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.