Задачи с физическими формулами

1. 1. Подставляем: 6 = 192·2^−t/10.
2. 2. Делим на 192: 2^−t/10 = 6/192 = 1/32.
3. 3. 1/32 = 2⁻⁵, значит −t/10 = −5, откуда t = 50.

Ответ: 50 минут

1. 1. Искомая величина l стоит под корнем, поэтому первым делом избавляемся от корня: возводим обе части в квадрат. Это законно, потому что и скорость, и подкоренное выражение неотрицательны.
2. 2. v² = 2al.
3. 3. Выражаем путь: l = v²/(2a).
4. 4. Подставляем числа: l = 100²/(2·6250) = 10 000/12 500.
5. 5. Считаем: 10 000/12 500 = 0,8 км.
6. 6. Проверка подстановкой в исходную формулу: √(2·6250·0,8) = √10 000 = 100 км/ч — верно.
7. 7. Где теряют баллы. Подставляют числа до преобразования и пытаются решать уравнение 100 = √(12 500·l) в уме. Полезнее сначала выразить нужную букву в общем виде, а числа подставить в готовую формулу: так меньше арифметики и виден смысл (путь растёт как квадрат скорости — вдвое большая скорость требует вчетверо большего разгона). Вторая потеря — единицы: ускорение дано в км/ч², скорость в км/ч, поэтому путь получается в километрах, и переводить ничего не нужно.

Ответ: 0,8 км

1. 1. Слова «не менее 8 метров» задают неравенство, а не уравнение: 1,4 + 14t − 5t² ≥ 8.
2. 2. Переносим всё в одну часть: −5t² + 14t − 6,6 ≥ 0. Умножаем на −1 и меняем знак неравенства: 5t² − 14t + 6,6 ≤ 0.
3. 3. Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим на 5: 25t² − 70t + 33 ≤ 0.
4. 4. Дискриминант: D = 70² − 4·25·33 = 4900 − 3300 = 1600, √D = 40.
5. 5. Корни: t = (70 ± 40)/50, то есть t₁ = 30/50 = 0,6 и t₂ = 110/50 = 2,2.
6. 6. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение неположительно между корнями: 0,6 ≤ t ≤ 2,2. Это промежуток времени, когда мяч был выше восьми метров.
7. 7. Вопрос задан про длительность, а не про моменты: 2,2 − 0,6 = 1,6 секунды.
8. 8. Проверка: h(0,6) = 1,4 + 8,4 − 1,8 = 8 и h(2,2) = 1,4 + 30,8 − 24,2 = 8 — в обеих точках мяч ровно на высоте 8 м, как и должно быть на границах.
9. 9. Где теряют баллы. Находят корни и записывают в ответ больший из них (2,2) или меньший (0,6). Спрашивают сколько секунд, то есть длину промежутка, — это разность корней. Вторая потеря — при умножении на −1 забывают развернуть знак неравенства, и тогда «решением» оказывается всё, кроме нужного промежутка.

Ответ: 1,6 секунды

1. 1. Средняя скорость — это не среднее арифметическое скоростей, а весь путь, делённый на всё затраченное время: v = S / t. Из этого определения и нужно исходить.
2. 2. Конкретной длины пути в условии нет, поэтому обозначим весь путь через 2S — так половины будут по S, и дроби получатся без лишних знаменателей.
3. 3. Время на первой половине: t₁ = S / 60. Время на второй: t₂ = S / 90.
4. 4. Общее время: t = S/60 + S/90. Приводим к общему знаменателю 180: t = 3S/180 + 2S/180 = 5S/180 = S/36.
5. 5. Средняя скорость: v = 2S / (S/36) = 2S · 36/S = 72 км/ч. Буква S сократилась — так и должно быть: ответ не зависит от длины маршрута.
6. 6. Проверка на числах: пусть весь путь 180 км. Первые 90 км за 90/60 = 1,5 ч, вторые 90 км за 90/90 = 1 ч. Всего 180 км за 2,5 ч, то есть 72 км/ч. Сошлось.
7. 7. Где теряют баллы. Отвечают 75, взяв полусумму (60 + 90)/2. На медленном участке автомобиль проводит больше времени, поэтому малая скорость «весит» больше, и средняя всегда оказывается ниже полусуммы. Полезный ориентир для самопроверки: средняя скорость обязана лежать между 60 и 90, но ближе к меньшей из них.

Ответ: 72