ЕГЭ 2027 · Математика (база)
Задание 16 ЕГЭ по базовой математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ЕГЭ: №16 (степени и корни)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- примерно в половине вариантов задание 16 именно такое
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- При умножении степеней перемножают показатели вместо сложения
- При возведении степени в степень складывают показатели вместо умножения
- Теряют знак в отрицательном показателе: (2−3)−2 даёт 2⁶, а не 2−6
- Извлекают корни по отдельности, вместо того чтобы объединить их под один знак
- Считают, что √(a + b) = √a + √b — это неверно
- ФИПИ-2025: в задании на модули и корни давали 33 (сложили модули), 13 (не возвели 4 в квадрат), 273 (потеряли корень при возведении в квадрат); в логарифмическом — 3 (нарушен порядок действий) и 11 (все логарифмы утеряны)
Совет. Свойства степеней работают только при одинаковом основании. Если основания разные (6 и 2, 9 и 3, 25 и 5), сначала приведи всё к одному: 6 = 2 · 3, 9 = 3², 25 = 5²
Аналитика ЕГЭ: №16 (логарифмы, тригонометрия)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- примерно четыре задания из десяти в этой линии — логарифмы и тригонометрия
- Сложность
- базовый, если выучены свойства
Частые ловушки
- Складывают числа под логарифмами вместо перемножения: log₆ 4 + log₆ 9 читают как log₆ 13
- Путают сумму логарифмов (произведение) и разность (частное)
- Не узнают основное логарифмическое тождество alog_a b = b
- В отношении log₇ 81 : log₇ 3 пытаются вычислить каждый логарифм отдельно
- Забывают, что lg — это логарифм по основанию 10, а не что-то особенное
Совет. Все выражения задания 16 составлены так, чтобы после свёртки получилось целое число. Если вышло что-то вроде log₆ 13, значит свойство применено не то
Аналитика ЕГЭ: №16 (преобразование выражений)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте — одна из пяти разновидностей задания 16
- Сложность
- базовый; по спецификации на задание отводится 7 минут
Частые ловушки
- Подставляют x = 21 прямо в (x² − 16) : (x − 4) и вязнут в вычислении 441 − 16 = 425, потом делят с остатком и ошибаются
- В квадрате суммы теряют удвоенное произведение: пишут (a + b)² = a² + b²
- Путают (a − b)² и a² − b² — это разные формулы
- Возводят 63 и 57 в квадрат вручную вместо разности квадратов, теряя минуты и делая арифметическую ошибку
- Сокращают дробь почленно: из (x² − 16) : (x − 4) «сокращают» x² с x
Совет. Правило простое: сначала упрости буквами, и только в самом конце подставляй число. Обычно после свёртки остаётся одно действие
Разборы
Разбор примера
Три действия с одинаковым основанием
Найдите значение выражения 7¹² · 7⁻⁹ : 7².
Показать решение по шагам
- 1. Основание везде одно — семёрка, значит можно работать только с показателями.
- 2. При умножении показатели складываются: 12 + (−9) = 3.
- 3. При делении вычитаются: 3 − 2 = 1.
- 4. Получаем 7¹ = 7.
- 5. Частая ошибка — перемножить показатели (12 · (−9) = −108). Перемножение относится к возведению степени в степень, а не к умножению степеней.
Ответ: Ответ: 7
Разбор примера
Разные основания приводим к одному
Найдите значение выражения 6⁷ : (2⁷ · 3⁵).
Показать решение по шагам
- 1. Основания 6, 2 и 3 разные, поэтому напрямую свойства применить нельзя.
- 2. Раскладываем шестёрку: 6 = 2 · 3, значит 6⁷ = 2⁷ · 3⁷.
- 3. Выражение принимает вид (2⁷ · 3⁷) : (2⁷ · 3⁵).
- 4. Множитель 2⁷ сокращается полностью, а у троек показатели вычитаются: 3⁷ : 3⁵ = 3² = 9.
- 5. Ответ 9. Тот же приём работает для 10ⁿ = 2ⁿ · 5ⁿ, 12ⁿ = 4ⁿ · 3ⁿ, 15ⁿ = 3ⁿ · 5ⁿ.
Ответ: Ответ: 9
Разбор примера
Стандартный вид числа
Найдите значение выражения (2,5 · 10⁴) · (4 · 10⁻²).
Показать решение по шагам
- 1. Группируем отдельно числовые множители и отдельно степени десятки.
- 2. Числа: 2,5 · 4 = 10.
- 3. Степени: 10⁴ · 10⁻² = 104−2 = 10².
- 4. Итого 10 · 10² = 10³ = 1000.
- 5. Проверка «в лоб»: 2,5 · 10⁴ = 25000, а 4 · 10⁻² = 0,04; произведение 25000 · 0,04 = 1000 ✓.
Ответ: Ответ: 1000
Разбор примера
Квадрат суммы с корнем
Найдите значение выражения (√7 + 5)² − 10√7.
Показать решение по шагам
- 1. Раскрываем квадрат суммы: (√7 + 5)² = (√7)² + 2 · √7 · 5 + 5².
- 2. (√7)² = 7, среднее слагаемое равно 10√7, последнее равно 25.
- 3. Получаем 7 + 10√7 + 25 − 10√7.
- 4. Слагаемые 10√7 и −10√7 взаимно уничтожаются — именно ради этого выражение и составлено.
- 5. Остаётся 7 + 25 = 32. Значение корня √7 ≈ 2,6457 нигде не понадобилось.
Ответ: Ответ: 32
Разбор примера
Объединяем корни под один знак
Найдите значение выражения 6√12 · √3.
Показать решение по шагам
- 1. Числовой множитель 6 стоит перед корнем и в преобразованиях корней не участвует — временно откладываем его в сторону.
- 2. Произведение корней равно корню из произведения: √12 · √3 = √(12 · 3) = √36.
- 3. 36 — точный квадрат: √36 = 6.
- 4. Возвращаем отложенный множитель: 6 · 6 = 36.
- 5. Попытка извлечь корни по отдельности (√12 ≈ 3,46 и √3 ≈ 1,73) дала бы приближённый ответ и лишние вычисления — объединение под один знак всегда быстрее и точнее.
Ответ: Ответ: 36
Уроки по этой линии
- Степени и корни в вычислениях
- Логарифмы и тригонометрия в числах
- Преобразование буквенных выражений и формулы сокращённого умножения — открыт бесплатно
- Тригонометрия в задании 17 и значения углов
- Карта экзамена: 21 задание, справочные материалы и тайминг — открыт бесплатно
- Задания 14–18: вычисления, проценты, уравнения и неравенства
- Финальный чек-лист: ошибки, самопроверка и план на 3 часа
Потренируй задание 16
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.