ЕГЭ · Математика (база) · Алгебра: выражения, уравнения, неравенства
Преобразование буквенных выражений и формулы сокращённого умножения
Задание 16 в «алгебраической» обёртке: подставлять числа в лоб не нужно — сначала свернуть выражение, потом посчитать одним действием.
🎯 ЕГЭ база: урок закрывает ту часть задания 16, где выражение содержит буквы или большие числа, а считать «в лоб» дольше, чем преобразовать.
- ⚠Подставляют x = 21 прямо в (x² − 16) : (x − 4) и вязнут в вычислении 441 − 16 = 425, потом делят с остатком и ошибаются
- ⚠В квадрате суммы теряют удвоенное произведение: пишут (a + b)² = a² + b²
- ⚠Путают (a − b)² и a² − b² — это разные формулы
- ⚠Возводят 63 и 57 в квадрат вручную вместо разности квадратов, теряя минуты и делая арифметическую ошибку
- ⚠Сокращают дробь почленно: из (x² − 16) : (x − 4) «сокращают» x² с x
Три формулы, которые закрывают почти всё
| Квадрат суммы | (a + b)² = a² + 2ab + b² |
|---|---|
| Квадрат разности | (a − b)² = a² − 2ab + b² (знак минус только у среднего слагаемого) |
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b). Работает в обе стороны и чаще всего нужна именно справа налево |
| Разность квадратов с корнями | (√m − √n)(√m + √n) = m − n. Корни исчезают сразу |
| Сумма и разность кубов | a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). На базовом уровне встречаются редко, но знать полезно |
| Что из этого следует | (a + b)² − a² − b² = 2ab; a² + b² = (a + b)² − 2ab. Обе свёртки в задании 16 попадаются регулярно |
Зачем упрощать, если можно посчитать
Задание 16 специально составлено так, чтобы прямой счёт был неудобен, а после преобразования всё считалось устно. Возьмём (x² − 16) : (x − 4) при x = 21. Прямой путь: 21² = 441, 441 − 16 = 425, 21 − 4 = 17, 425 : 17 = 25 — три действия, из них одно деление в столбик. Путь через формулу: числитель раскладывается как (x − 4)(x + 4), скобка (x − 4) сокращается, остаётся x + 4 = 25 — одно действие в уме. Разница ещё заметнее в выражениях вида 63² − 57²: считать два трёхзначных квадрата долго и опасно, а по формуле разности квадратов получается 6 · 120 = 720 мгновенно. Поэтому увидев в задании 16 буквы или два близких больших числа в квадратах, не спеши подставлять — сначала ищи знакомую формулу.
Разбор примера
Сокращение дроби до подстановки
Найдите значение выражения (x² − 81) : (x − 9) при x = 34.
Показать решение по шагам
- 1. В числителе разность квадратов: x² − 81 = x² − 9² = (x − 9)(x + 9).
- 2. Дробь принимает вид (x − 9)(x + 9) : (x − 9). Общий множитель (x − 9) сокращается — он не равен нулю, потому что x = 34.
- 3. Осталось выражение x + 9.
- 4. Подставляем: 34 + 9 = 43.
- 5. Проверка прямым счётом: 34² = 1156, 1156 − 81 = 1075, 34 − 9 = 25, 1075 : 25 = 43. Сошлось, но заняло втрое больше времени.
Ответ: Ответ: 43
Разбор примера
Квадрат суммы: что остаётся после вычитания
Найдите значение выражения (a + b)² − a² − b² при a = 12 и b = 25.
Показать решение по шагам
- 1. Раскрываем квадрат суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b².
- 2. Вычитаем a² и b²: a² + 2ab + b² − a² − b² = 2ab. Буквы ушли, осталось одно произведение.
- 3. Подставляем: 2 · 12 · 25 = 600.
- 4. Считать удобно так: 2 · 25 = 50, затем 50 · 12 = 600.
- 5. Проверка прямым счётом: (12 + 25)² = 37² = 1369; 12² = 144; 25² = 625; 1369 − 144 − 625 = 600. Сошлось.
Ответ: Ответ: 600
Разность квадратов на больших числах
Разбор примера
Считаем 63² − 57² без возведения в квадрат
Найдите значение выражения 63² − 57².
Показать решение по шагам
- 1. Применяем формулу a² − b² = (a − b)(a + b), где a = 63 и b = 57.
- 2. Разность: 63 − 57 = 6. Сумма: 63 + 57 = 120.
- 3. Произведение: 6 · 120 = 720.
- 4. Тот же приём работает под корнем: √(85² − 84²) = √((85 − 84)(85 + 84)) = √(1 · 169) = √169 = 13.
- 5. Если бы мы возводили в квадрат: 63² = 3969, 57² = 3249, разность 720 — ответ тот же, но два умножения в столбик и высокий риск ошибки.
Ответ: Ответ: 720
Разбор примера
Логарифм в показателе: основания надо согласовать
Найдите значение выражения 25log₅3.
Показать решение по шагам
- 1. В показателе стоит логарифм по основанию 5, а степень берётся от 25. Пока основания разные, готовое тождество alog_a b = b не применить — значит, надо их согласовать.
- 2. Замечаем, что 25 = 5². Переписываем: 25log₅3 = (5²)log₅3.
- 3. При возведении степени в степень показатели перемножаются: (5²)log₅3 = 52·log₅3.
- 4. Двойку вносим внутрь логарифма как показатель: 2·log₅3 = log₅(3²) = log₅9.
- 5. Теперь основание степени и основание логарифма совпали: 5log₅9 = 9. Это и есть основное логарифмическое тождество — «пятёрка в той степени, в которую её надо возвести, чтобы получить 9».
- 6. Проверка прикидкой: log₅3 ≈ 0,68, и 250,68 ≈ 9 — сходится.
- 7. Где теряют баллы. Применяют тождество «в лоб» и пишут 25log₅3 = 3, не заметив разных оснований. Ответ отличается ровно в три раза, и ошибку почти невозможно поймать без проверки. Правило простое: сначала одно основание, потом тождество.
Ответ: 9
Сокращать дробь можно только на общий множитель всего числителя и всего знаменателя. В (x² − 16) : (x − 4) сократить x² с x нельзя: числитель — это разность, а не произведение. Сначала разложение на множители, только потом сокращение.
Если под корнем стоит разность квадратов двух соседних чисел, ответ всегда красивый: n² − (n−1)² = 2n − 1. Например, 85² − 84² = 169, а 51² − 50² = 101.
Вопрос на проверку
Чему равно (a + b)² − a² − b²?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Найдите значение выражения (√13 − √4)(√13 + √4).
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Найдите значение выражения (x² − 25) : (x + 5) при x = 18.
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №16 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №16 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №16 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.