Загрузка страницы...

Подготавливаем контент, один момент.

Лествица Начать бесплатно

ЕГЭ 2027 · Математика (база)

Задание 13 ЕГЭ по базовой математике

Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.

Аналитика ЕГЭ: №11 и №13 (стереометрия)

Баллы: 2 первичных балла
Частота: в каждом варианте по одному заданию каждой линии
Сложность: базовый; по спецификации 11 и 8 минут

Частые ловушки

Путают объём и площадь поверхности: у объёма единицы кубические, у площади — квадратные
Теряют множитель 1/3 у пирамиды и конуса
Считают полную поверхность, когда спрашивают боковую
В задачах «во сколько раз» умножают на k, а надо на k² для площадей и k³ для объёмов
Не замечают приписку «ответ разделите на π» и пишут приближённое число

Совет. Половина заданий 13 решается отношением: считать сами объёмы не нужно, достаточно сравнить произведения R²h или кубы коэффициента подобия

Аналитика ЕГЭ: №11 и №13 (многогранники)

Баллы: по 1 первичному баллу
Частота: многогранники составляют больше половины заданий линии 13
Сложность: базовый

Частые ловушки

В площади поверхности забывают множитель 2: считают ab + bc + ac вместо 2(ab + bc + ac)
Путают диагональ грани и диагональ параллелепипеда
У призмы с треугольным основанием забывают поделить на 2 при вычислении площади треугольника
Площадь равностороннего треугольника считают как a²/2 вместо a²√3 : 4
В задачах на масштаб коробок умножают на коэффициент один раз вместо каждого измерения

Совет. Диагональ параллелепипеда: d² = a² + b² + c². Это теорема Пифагора, применённая дважды: сначала в основании, потом в вертикальной плоскости

Аналитика ЕГЭ: №13 (пирамида)

Баллы: 1 первичный балл
Частота: в каждом третьем-четвёртом варианте
Сложность: базовый

Частые ловушки

Теряют множитель 1/3 — ответ получается ровно втрое больше
Путают боковое ребро и апофему: апофема идёт к середине стороны основания, ребро — к вершине основания
В правильной четырёхугольной пирамиде для высоты берут всю диагональ основания вместо половины
Считают площадь равностороннего треугольника как половину произведения сторон
В боковой поверхности забывают, что граней несколько

Совет. Апофема, половина стороны основания и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник. Высота пирамиды, апофема и половина стороны — тоже. Почти любая задача сводится к выбору нужного из них

Разборы

Разбор примера

Перпендикулярные рёбра: основание выбираем сами

В треугольной пирамиде ABCD рёбра AB, AC и AD взаимно перпендикулярны. Найдите объём пирамиды, если AB = 3, AC = 18 и AD = 7.

Показать решение по шагам

1. Возьмём за основание треугольник ABC. Рёбра AB и AC перпендикулярны, значит это прямоугольный треугольник с катетами 3 и 18.
2. Площадь основания: S = 3 · 18 : 2 = 27.
3. Ребро AD перпендикулярно и AB, и AC, а значит и всей плоскости ABC. Следовательно, AD — высота пирамиды, h = 7.
4. Объём: V = 27 · 7 : 3 = 189 : 3 = 63.
5. Удобный порядок счёта: сначала поделить на 3 то, что делится (27 : 3 = 9), потом умножить: 9 · 7 = 63.
6. Забытая треть дала бы 189 — ровно втрое больше верного ответа.

Ответ: Ответ: 63

Разбор примера

Правильная четырёхугольная пирамида: высота через половину диагонали

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 12, а боковое ребро равно 9.

Показать решение по шагам

1. Основание — квадрат со стороной 12. Его диагональ равна 12√2, а половина диагонали — 6√2.
2. Высота пирамиды опущена в центр квадрата, то есть в точку пересечения диагоналей. Высота, половина диагонали и боковое ребро образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой — боковым ребром.
3. h² = 9² − (6√2)² = 81 − 72 = 9, значит h = 3.
4. Площадь основания: 12 · 12 = 144.
5. Объём: V = 144 · 3 : 3 = 144.
6. Главная ловушка — взять всю диагональ 12√2 вместо половины: тогда под корнем окажется 81 − 288 < 0, и решение зайдёт в тупик. Отрицательное подкоренное выражение — верный признак этой ошибки.

Ответ: Ответ: 144

Разбор примера

Задание 13 из демоверсии: апофема через боковое ребро

Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны 16, а боковые рёбра равны 17. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.

Показать решение по шагам

1. Каждая боковая грань — равнобедренный треугольник с основанием 16 и боковыми сторонами 17.
2. Апофема (высота грани к основанию) в равнобедренном треугольнике делит основание пополам, отсекая половину 16 : 2 = 8.
3. По теореме Пифагора апофема m = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15.
4. Площадь одной грани: 16 · 15 : 2 = 120.
5. Граней три (основание — треугольник), поэтому S_бок = 3 · 120 = 360.
6. Проверка по общей формуле: S_бок = ½ · P · m = ½ · 48 · 15 = 360 ✓. Если бы взяли всю сторону 16 вместо половины, апофема получилась бы мнимой.

Ответ: Ответ: 360

Разбор примера

Пирамида с прямоугольником в основании

Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 9. Высота пирамиды равна 10. Найдите объём пирамиды.

Показать решение по шагам

1. Объём любой пирамиды равен трети произведения площади основания на высоту: V = ⅓·S·h. Форма основания при этом роли не играет — важна только его площадь.
2. Площадь основания: S = 6 · 9 = 54.
3. V = ⅓ · 54 · 10 = 18 · 10 = 180.
4. Удобный порядок счёта: сначала делим на 3 то число, которое делится нацело (здесь 54 : 3 = 18), и только потом умножаем — так не приходится работать с дробями.
5. Проверка через призму: призма с тем же основанием и высотой имела бы объём 54 · 10 = 540, а пирамида составляет ровно его треть — 180.
6. Где теряют баллы. Забывают множитель ⅓ и записывают 540 — это объём призмы, а не пирамиды. Вторая потеря — берут за высоту боковое ребро: высота пирамиды опускается перпендикулярно основанию, и она всегда короче любого бокового ребра.

Ответ: 180

Разбор примера

Объём и боковая поверхность, делённые на π

Радиус основания конуса равен 6, а его высота равна 5. Найдите объём конуса, делённый на π. Отдельно: у конуса с радиусом 9 и образующей 12 найдите площадь боковой поверхности, делённую на π.

Показать решение по шагам

1. Объём: V : π = R²h : 3 = 6² · 5 : 3 = 36 · 5 : 3 = 180 : 3 = 60.
2. Считать удобнее так: сначала 36 : 3 = 12, потом 12 · 5 = 60 — умножение мельче.
3. Боковая поверхность второго конуса: S_бок : π = R · l = 9 · 12 = 108.
4. Обрати внимание: в формуле боковой поверхности стоит именно образующая l, а не высота. Если бы дали высоту 12 и радиус 9, сначала пришлось бы найти l = √(144 + 81) = √225 = 15, и ответ был бы 9 · 15 = 135.
5. Именно эта подмена (l вместо h) и есть главная ошибка в задачах на поверхность конуса.

Ответ: Ответ: 60 и 108

Уроки по этой линии

Потренируй задание 13

Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.

Начать бесплатно