ЕГЭ 2027 · Математика (база)
Задание 12 ЕГЭ по базовой математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ЕГЭ: №12 (углы и треугольники), частично №10 (теорема Пифагора в быту)
- Баллы
- 1 первичный балл за каждое задание
- Частота
- в каждом варианте; сюжеты «угол в треугольнике», «внешний угол», «tg острого угла» встречаются чаще всех
- Сложность
- базовый: одно-два действия, но по конкретному факту
Частые ловушки
- Внешний угол считают равным внутреннему, а не смежным с ним: внешний = 180° − внутренний
- В равнобедренном треугольнике путают основание и боковые стороны и приравнивают не те углы
- В прямоугольном треугольнике берут не тот катет: тангенс — это противолежащий делить на прилежащий
- Считают гипотенузу по формуле a + b вместо корня из a² + b²
- Пишут ответ со знаком градуса или со словом «градусов» — засчитывается только число
Совет. Перед вычислением подпиши на чертеже все известные углы: в задании 12 почти всегда не хватает одного шага — суммы углов треугольника или свойства смежных углов
Аналитика ЕГЭ: №9 (фигура в узлах сетки), №12 (площади по формулам)
- Баллы
- 1 первичный балл за каждое
- Частота
- в каждом варианте; в №9 почти всегда даны координаты вершин
- Сложность
- базовый, но требует аккуратности со знаками и с половинками
Частые ловушки
- Забывают множитель ½ в площади треугольника и трапеции
- Берут высоту, не перпендикулярную выбранному основанию: боковую сторону вместо высоты
- В формуле шнурков теряют модуль и получают отрицательную площадь
- Считают клетки как метры, когда сторона клетки не равна 1
- В подобии умножают площадь на коэффициент, а не на его квадрат
Совет. Ответ в №9 часто полуцелый (27,5; 32,5) — это нормально. А вот отрицательное число всегда означает потерянный модуль
Аналитика ЕГЭ: №12 (четырёхугольники и их диагонали)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте примерно в трети формулировок
- Сложность
- базовый; главная сложность — распознать фигуру по завуалированному условию
Частые ловушки
- Считают, что диагонали параллелограмма равны (это верно только для прямоугольника)
- Считают, что диагонали ромба равны (они перпендикулярны, но разной длины)
- В трапеции берут боковую сторону вместо высоты
- Путают среднюю линию трапеции (полусумма оснований) со средней линией треугольника (половина стороны)
- Не замечают фразы-маркера: «диагонали перпендикулярны» или «диагонали — биссектрисы» означают ромб
Совет. Учи не только свойства, но и признаки: половина задач начинается с описания свойства, по которому нужно опознать ромб или прямоугольник
Разборы
Разбор примера
Диагонали — биссектрисы: значит, ромб
В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 45, AC = 72. Найдите BD.
Показать решение по шагам
- 1. Диагональ AC делит угол A пополам, поэтому угол BAC = угол CAD. Углы CAD и BCA — накрест лежащие при параллельных BC и AD, значит они равны.
- 2. Отсюда угол BAC = угол BCA, треугольник ABC равнобедренный и BC = AB = 45. У параллелограмма с равными соседними сторонами все стороны равны — перед нами ромб со стороной 45.
- 3. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам. Половина диагонали AC равна 72 : 2 = 36.
- 4. Половину диагонали BD находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника с гипотенузой 45 (сторона ромба) и катетом 36: корень из (45² − 36²) = корень из (2025 − 1296) = корень из 729 = 27.
- 5. Вся диагональ BD = 2 · 27 = 54.
- 6. Проверка: 27, 36, 45 — это тройка 3, 4, 5, умноженная на 9. Числа подобраны так специально.
Ответ: Ответ: 54
Разбор примера
Равнобедренная трапеция: собираем углы
В трапеции ABCD с основаниями BC и AD известно, что AB = CD, угол BDA равен 36°, а угол BDC равен 86°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Показать решение по шагам
- 1. Луч DB проходит внутри угла ADC, поэтому весь угол ADC складывается из двух данных: 36° + 86° = 122°.
- 2. Боковые стороны равны (AB = CD), значит трапеция равнобедренная, и углы при большем основании AD равны: угол BAD = угол ADC = 122°.
- 3. В треугольнике ABD известны углы BAD = 122° и ADB = 36°.
- 4. Угол ABD = 180° − 122° − 36° = 22°.
- 5. Проверка: 122 + 36 + 22 = 180 — сходится.
Ответ: Ответ: 22
Разбор примера
Средняя линия трапеции по клеткам
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены вершины трапеции ABCD с основаниями AD и BC. Основание AD занимает 11 клеток, основание BC — 4 клетки, высота трапеции равна 5 клеткам. Найдите длину средней линии трапеции и её площадь.
Показать решение по шагам
- 1. Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований. Не путать с отрезком между серединами диагоналей — тот равен полуразности.
- 2. m = (AD + BC)/2 = (11 + 4)/2 = 15/2 = 7,5.
- 3. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту, то есть средней линии, умноженной на высоту: S = m·h.
- 4. S = 7,5 · 5 = 37,5.
- 5. Проверка по классической формуле: S = (11 + 4)/2 · 5 = 7,5 · 5 = 37,5. Совпало — это одна и та же формула, записанная по-разному.
- 6. Где теряют баллы. Считают среднюю линию как полуразность (3,5) — эту формулу путают с отрезком между серединами диагоналей. Вторая потеря — на клетчатой бумаге берут за высоту боковую сторону: высота трапеции измеряется по перпендикуляру между основаниями, то есть по вертикали сетки, а наклонная боковая сторона всегда длиннее.
Ответ: средняя линия 7,5; площадь 37,5
Разбор примера
Параллелограмм: периметр по двум сторонам
Периметр параллелограмма равен 48, а одна из его сторон на 4 больше другой. Найдите большую сторону параллелограмма.
Показать решение по шагам
- 1. У параллелограмма противоположные стороны равны, поэтому в периметр каждая из двух разных сторон входит дважды: P = 2·(a + b).
- 2. Из периметра: 2·(a + b) = 48, значит a + b = 24. Это сумма двух соседних сторон, а не всех четырёх.
- 3. Обозначим меньшую сторону через x, тогда большая равна x + 4.
- 4. Уравнение: x + (x + 4) = 24, то есть 2x + 4 = 24, откуда 2x = 20 и x = 10.
- 5. Меньшая сторона 10, большая 10 + 4 = 14.
- 6. Проверка: P = 2·(10 + 14) = 2·24 = 48 — сходится, и разность сторон действительно равна 4.
- 7. Где теряют баллы. Делят периметр на 4 и получают 12, как у ромба. У параллелограмма стороны попарно равны, но соседние различны, поэтому деление на четыре годится только для ромба и квадрата. Вторая потеря — находят x = 10 и записывают его в ответ, хотя спрашивали большую сторону.
Ответ: 14
Разбор примера
Медиана, высота и спрятанный равнобедренный треугольник
В треугольнике ABC сторона AC = 34, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.
Показать решение по шагам
- 1. BM — медиана, значит M — середина AC: AM = MC = 34 : 2 = 17.
- 2. По условию BM = BC. Значит треугольник BMC — равнобедренный с основанием MC.
- 3. BH — высота треугольника ABC, но она же высота треугольника BMC, опущенная на основание MC. В равнобедренном треугольнике такая высота делит основание пополам: HC = MC : 2 = 17 : 2 = 8,5.
- 4. AH = AC − HC = 34 − 8,5 = 25,5.
- 5. Заодно: MH = MC − HC = 17 − 8,5 = 8,5. Если бы спросили MH, ответ был бы 8,5. Условия на AH и MH различаются только последним действием, и именно на этом чаще всего теряют балл.
Ответ: Ответ: 25,5
Уроки по этой линии
- Углы и треугольники: факты, которые решают задание 12 — открыт бесплатно
- Площади фигур и площадь по клеткам (задания 9 и 12)
- Четырёхугольники: параллелограмм, ромб, прямоугольник, трапеция
- Медианы, средние линии и подобие треугольников
- Окружность: вписанные углы, диаметр, касательная, дуги
- Карта экзамена: 21 задание, справочные материалы и тайминг — открыт бесплатно
- Задания 9–13: планиметрия и стереометрия
- Финальный чек-лист: ошибки, самопроверка и план на 3 часа
Потренируй задание 12
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.