ЕГЭ · Математика (база) · Стереометрия: объёмы и площади поверхностей
Стереометрия на базе: что спрашивают и какими формулами пользоваться
Карта заданий 11 и 13: какие тела встречаются, все формулы объёмов и поверхностей в одном месте и приёмы, которые повторяются из варианта в вариант.
🎯 ЕГЭ база: два первичных балла — задания 11 и 13. Оба берутся на знании горстки формул, без построений и доказательств.
- ⚠Путают объём и площадь поверхности: у объёма единицы кубические, у площади — квадратные
- ⚠Теряют множитель 1/3 у пирамиды и конуса
- ⚠Считают полную поверхность, когда спрашивают боковую
- ⚠В задачах «во сколько раз» умножают на k, а надо на k² для площадей и k³ для объёмов
- ⚠Не замечают приписку «ответ разделите на π» и пишут приближённое число
Все формулы в одной таблице
| Прямоугольный параллелепипед | V = a · b · c (произведение трёх измерений) |
|---|---|
| Куб с ребром a | V = a³ |
| Призма | V = Sосн · h, где Sосн — площадь основания, h — высота |
| Пирамида | V = Sосн · h : 3 — не забывай про треть |
| Цилиндр | V = πR²h, то есть площадь круга на высоту |
| Конус | V = πR²h : 3 |
| Шар | V = 4πR³ : 3 |
| Параллелепипед | S = 2(ab + bc + ac) — три пары равных граней |
|---|---|
| Куб | S = 6a² — шесть одинаковых квадратов |
| Призма | Sбок = Pосн · h; полная поверхность — плюс два основания |
| Пирамида (правильная) | Sбок = ½ · Pосн · m, где m — апофема (высота боковой грани) |
| Цилиндр | Sбок = 2πRh; полная — 2πR(R + h) |
| Конус | Sбок = πRl, где l — образующая; полная — πR(R + l) |
| Шар (сфера) | S = 4πR² |
Три приёма, которые повторяются в каждом варианте
Первый приём — «делённое на π». В условии часто просят найти объём или площадь, делённые на π. Это сделано специально, чтобы ответ был целым числом и не пришлось приближённо считать. Практически это значит, что символ π в формуле можно просто вычеркнуть: если V = πR²h, то V : π = R²h. Второй приём — отношение вместо вычисления. Вопросы «во сколько раз объём одного тела больше объёма другого» решаются сравнением тех множителей, которыми тела отличаются: у цилиндров и конусов это произведение R²h, у шаров — куб радиуса, у боковых поверхностей конусов — произведение Rl. Общие множители π и 1/3 сокращаются и в вычислениях не участвуют. Третий приём — вытеснение жидкости. Если тело полностью погружено в сосуд с жидкостью, объём тела равен объёму слоя, на который поднялся уровень: V = Sоснования · Δh. Форма самой детали при этом совершенно неважна, и в условии её не описывают именно поэтому.
Разбор примера
Погружение детали: задание 11 в чистом виде
В сосуд цилиндрической формы с площадью основания 250 см² налита вода. Деталь полностью погрузили в воду, и уровень воды поднялся на 8 см. Найдите объём детали в кубических сантиметрах.
Показать решение по шагам
- 1. Вода, вытесненная деталью, образует слой той же формы, что и сосуд: цилиндр с площадью основания 250 см² и высотой 8 см.
- 2. Объём этого слоя: V = S · Δh = 250 · 8 = 2000 см³.
- 3. Объём детали равен объёму вытесненной воды, значит ответ 2000 см³.
- 4. Форма детали («сложной формы») не играет никакой роли — в этом и смысл метода вытеснения.
- 5. Радиус сосуда искать не нужно: площадь основания уже дана. Если бы дали радиус, пришлось бы сначала посчитать πR².
Ответ: Ответ: 2000
Разбор примера
Тот же приём для призматического бака
В бак, имеющий форму правильной четырёхугольной призмы со стороной основания 70 см, налита жидкость. Чтобы измерить объём детали сложной формы, её полностью погружают в эту жидкость. Найдите объём детали, если после её погружения уровень жидкости в баке поднялся на 5 см.
Показать решение по шагам
- 1. Правильная четырёхугольная призма — это призма, в основании которой лежит квадрат. Сторона квадрата 70 см.
- 2. Площадь основания: 70 · 70 = 4900 см².
- 3. Объём поднявшегося слоя: 4900 · 5 = 24500 см³.
- 4. Значит объём детали равен 24500 см³.
- 5. Ловушка формулировки: «правильная четырёхугольная» не означает куб. Высота бака нам вообще не нужна — важен только подъём уровня.
Ответ: Ответ: 24500
Разбор примера
Объём и поверхность прямоугольного параллелепипеда
Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 4, 5 и 10. Найдите его объём и площадь полной поверхности.
Показать решение по шагам
- 1. Объём прямоугольного параллелепипеда — произведение трёх измерений: V = a·b·c.
- 2. V = 4 · 5 · 10 = 200.
- 3. Полная поверхность состоит из трёх пар равных граней: 4×5, 4×10 и 5×10. Формула: S = 2·(ab + ac + bc).
- 4. Считаем скобку: 4·5 + 4·10 + 5·10 = 20 + 40 + 50 = 110.
- 5. S = 2 · 110 = 220.
- 6. Проверка по смыслу: у куба с тем же объёмом 200 ребро было бы примерно 5,85, а поверхность 6 · 5,85² ≈ 205 — меньше, чем 220. Так и должно быть: из всех параллелепипедов данного объёма наименьшую поверхность имеет куб.
- 7. Где теряют баллы. Считают площадь как сумму трёх граней, забыв множитель 2, и получают 110 — ровно вдвое меньше. У параллелепипеда шесть граней, попарно равных. Вторая потеря — путают единицы: объём измеряется в кубических единицах, площадь — в квадратных, и вопрос всегда подсказывает, что именно нужно.
Ответ: объём 200, площадь поверхности 220
Разбор примера
Во сколько раз вырастет объём при увеличении ребра
Ребро куба увеличили в 4 раза. Во сколько раз увеличились объём куба и площадь его поверхности?
Показать решение по шагам
- 1. Записываем формулы в общем виде. Объём куба V = a³, площадь поверхности S = 6a².
- 2. Новое ребро равно 4a. Новый объём: (4a)³ = 4³·a³ = 64a³. Значит объём вырос в 64 раза.
- 3. Новая площадь: 6·(4a)² = 6·16a² = 16·(6a²). Значит площадь выросла в 16 раз.
- 4. Общее правило, которое стоит запомнить: при увеличении всех линейных размеров в k раз площади растут в k² раз, а объёмы — в k³ раз.
- 5. Проверка на числах: куб с ребром 1 имеет объём 1 и поверхность 6; куб с ребром 4 — объём 64 и поверхность 96. Отношения 64 и 16. Сошлось.
- 6. Где теряют баллы. Отвечают «в 4 раза» на оба вопроса, перенося коэффициент напрямую. Линейный размер, площадь и объём реагируют по-разному, и различие определяется степенью, в которой размер входит в формулу. Это же правило работает для шара, конуса, пирамиды — для любых подобных тел.
Ответ: объём в 64 раза, площадь поверхности в 16 раз
«Правильная n-угольная призма (пирамида)» — это тело, в основании которого лежит правильный многоугольник: равносторонний треугольник, квадрат, правильный шестиугольник. У правильной пирамиды вершина к тому же проецируется в центр основания.
Следи за единицами: объём измеряется в кубических единицах (см³, м³, л), площадь — в квадратных. Полезные переводы: 1 л = 1000 см³, 1 м³ = 1000 л, 1 м³ = 1000000 см³.
Вопрос на проверку
Чем отличается формула объёма пирамиды от формулы объёма призмы с тем же основанием и той же высотой?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Деталь погрузили в сосуд с площадью основания 150 см², уровень поднялся на 9 см. Объём детали равен:
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Сколько кубических сантиметров в одном литре?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор экзаменационных заданий
Задание №11 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №11 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №11 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.