ЕГЭ · Математика (база) · Планиметрия: фигуры на плоскости
Углы и треугольники: факты, которые решают задание 12
Сумма углов, внешний угол, равнобедренный и прямоугольный треугольники, теорема Пифагора и тригонометрия острого угла — набор, которым закрывается больше половины всех вариантов задания 12.
🎯 ЕГЭ база: этот урок закрывает задания 10 и 12 — практическую задачу с прямоугольным треугольником и планиметрический факт про углы.
- ⚠Внешний угол считают равным внутреннему, а не смежным с ним: внешний = 180° − внутренний
- ⚠В равнобедренном треугольнике путают основание и боковые стороны и приравнивают не те углы
- ⚠В прямоугольном треугольнике берут не тот катет: тангенс — это противолежащий делить на прилежащий
- ⚠Считают гипотенузу по формуле a + b вместо корня из a² + b²
- ⚠Пишут ответ со знаком градуса или со словом «градусов» — засчитывается только число
Углы: шесть фактов, из которых собирается всё
| Смежные углы | два угла с общей стороной, а другие их стороны — дополнительные лучи. Сумма 180°. Отсюда: если один 112°, второй 68° |
|---|---|
| Вертикальные углы | равны. Возникают при пересечении двух прямых |
| Сумма углов треугольника | 180° в любом треугольнике. Если два угла известны, третий находится вычитанием |
| Внешний угол треугольника | смежен с внутренним углом при той же вершине. Он равен сумме двух не смежных с ним внутренних углов, и одновременно внешний = 180° − внутренний |
| Развёрнутый угол | 180°. Если точка лежит на отрезке, углы по обе стороны от неё в сумме дают 180°. Этим свойством решаются задачи про диаметры окружности |
| Биссектриса | луч, делящий угол пополам. Если биссектриса угла A отсекает угол 15°, то весь угол A равен 30° |
Почему внешний угол — самый доходный факт задания 12
Формулировка «внешний угол при вершине B равен 112°» встречается в банке ФИПИ десятками вариантов. Ученик, который помнит только сумму углов треугольника, застревает: в условии дан угол, которого на чертеже треугольника нет. На самом деле шаг ровно один: внешний угол смежен с внутренним, поэтому внутренний угол B = 180° − 112° = 68°. Дальше работает второй факт из условия — равенство сторон. Если сказано «стороны AC и BC равны», то равны углы, лежащие против них: против AC лежит угол B, против BC лежит угол A. Значит угол A = угол B = 68°, и угол C = 180° − 68° − 68° = 44°. Вся ошибка, из-за которой теряется балл, — приравнять углы A и B, когда равны стороны AB и BC: тогда равны углы, лежащие против них, то есть углы C и A, а не A и B. Правило-подсказка: равные стороны — равные углы напротив них, и наоборот.
Разбор примера
Внешний угол плюс равнобедренность
В треугольнике ABC стороны AC и BC равны. Внешний угол при вершине B равен 112°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.
Показать решение по шагам
- 1. Внешний угол при вершине B смежен с внутренним углом B: угол B = 180° − 112° = 68°.
- 2. Равны стороны AC и BC. Против стороны AC лежит угол B, против стороны BC лежит угол A. Значит угол A = угол B = 68°.
- 3. Сумма углов треугольника: угол C = 180° − 68° − 68° = 44°.
- 4. Самопроверка: 68 + 68 + 44 = 180 — сходится. Если бы мы ошиблись и приравняли углы A и C, получили бы 68 + x + x = 180, то есть x = 56 — именно этот неверный ответ и стоит в вариантах-ловушках.
Ответ: Ответ: 44
Разбор примера
Биссектриса и угол, который она отсекает
В треугольнике ABC проведена биссектриса AD (точка D лежит на стороне BC), угол ADC равен 62°, угол ABC равен 47°. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Показать решение по шагам
- 1. Углы ADB и ADC смежные, значит угол ADB = 180° − 62° = 118°.
- 2. В треугольнике ABD известны два угла: угол ABD = 47° (это тот же угол ABC) и угол ADB = 118°. Тогда угол BAD = 180° − 47° − 118° = 15°.
- 3. AD — биссектриса угла A, поэтому весь угол BAC = 2 · 15° = 30°.
- 4. В треугольнике ABC: угол ACB = 180° − 47° − 30° = 103°.
- 5. Проверка по треугольнику ADC: 15° + 62° + 103° = 180° — сходится.
Ответ: Ответ: 103
Треугольники: виды и что из каждого следует
| Равнобедренный |
|
|---|---|
| Равносторонний | все стороны равны, все углы по 60°. Частный случай равнобедренного. Если в треугольнике две стороны равны и угол между ними 60°, он равносторонний |
| Прямоугольный |
|
| Соотношение сторон и углов | против большей стороны лежит больший угол, против равных сторон — равные углы. Работает в обе стороны |
| Неравенство треугольника | каждая сторона меньше суммы двух других. Треугольника со сторонами 2, 3 и 7 не существует |
Формулировки «стороны AB и BC равны» и «стороны AC и BC равны» дают разные равные углы. Всегда проговаривай: против стороны AB лежит угол C, против BC — угол A, против AC — угол B.
Прямоугольный треугольник: Пифагор и тригонометрия
Определение
Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: c² = a² + b². Обратный ход: катет = корень из (гипотенуза² − второй катет²)
| Базовые тройки | 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25; 20, 21, 29; 9, 40, 41 |
|---|---|
| Кратные | любую тройку можно умножить на число: 6, 8, 10; 9, 12, 15; 15, 20, 25; 10, 24, 26; 30, 40, 50 |
| Зачем | почти все числа в банке подобраны так, чтобы корень извлекался нацело. Увидел 15 и 20 — сразу пиши 25, не считая. Увидел 9 и 41 — это тройка 9, 40, 41, второй катет 40 |
| Синус | sin = противолежащий катет : гипотенуза |
|---|---|
| Косинус | cos = прилежащий катет : гипотенуза |
| Тангенс | tg = противолежащий катет : прилежащий катет. Он же sin : cos |
| Как не перепутать | и синус, и косинус всегда меньше 1, потому что катет короче гипотенузы. Если получилось 1,25 — катет и гипотенуза перепутаны местами |
| Опорные значения | sin 30° = 0,5; cos 60° = 0,5; sin 45° = cos 45° = √2/2; tg 45° = 1; sin 60° = cos 30° = √3/2 |
Разбор примера
Тангенс острого угла: два шага
В треугольнике ABC угол C равен 90°, AB = 41, BC = 9. Найдите tg A.
Показать решение по шагам
- 1. Прямой угол при вершине C, значит AB — гипотенуза (41), а BC и AC — катеты.
- 2. Второй катет по теореме Пифагора: AC² = 41² − 9² = 1681 − 81 = 1600, значит AC = 40. Это тройка 9, 40, 41.
- 3. Против угла A лежит катет BC = 9, прилежит к углу A катет AC = 40.
- 4. tg A = 9 : 40 = 0,225.
- 5. Типичная ошибка: взять 9 : 41 ≈ 0,2195 — это синус угла A, а не тангенс. В бланк 0,225 записывается как 0,225 — с запятой и без округления.
Ответ: Ответ: 0,225
Разбор примера
Высота к гипотенузе — через площадь, а не через формулы
Катеты прямоугольного треугольника равны 12 и 16. Найдите высоту, проведённую к гипотенузе.
Показать решение по шагам
- 1. Гипотенуза: c² = 12² + 16² = 144 + 256 = 400, значит c = 20. Это тройка 3, 4, 5, умноженная на 4.
- 2. Площадь через катеты: S = 12 · 16 : 2 = 96.
- 3. Та же площадь считается через гипотенузу и высоту к ней: S = c · h : 2, то есть 96 = 20 · h : 2 = 10h.
- 4. Отсюда h = 96 : 10 = 9,6.
- 5. Проверка на здравый смысл: высота к гипотенузе всегда меньше каждого катета. 9,6 < 12 — верно. Ответ 16 или 12 здесь невозможен в принципе.
Ответ: Ответ: 9,6
Приём «две формулы одной площади» универсален: площадь треугольника можно записать через любую сторону и высоту к ней. Из равенства двух записей находится высота, сторона или сама площадь. Так решаются и задачи вида «площадь 60, сторона 24 — найдите высоту»: h = 2 · 60 : 24 = 5.
Вопрос на проверку
В треугольнике ABC стороны AB и BC равны, внешний угол при вершине A равен 124°. Чему равен угол B?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 25, один катет равен 15. Чему равен второй катет?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
В прямоугольном треугольнике с прямым углом C известно: AB = 25, sin A = 0,6. Чему равна площадь треугольника?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №12 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №12 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №10 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.