ЕГЭ · Математика (база) · Текстовые задачи: движение, работа, сплавы
Доли, части и пропорции
Основа всех текстовых задач: перевести долю в проценты, поделить величину в заданном отношении и отличить прямую пропорциональность от обратной.
🎯 ЕГЭ база: урок закрывает часть задания 15 про доли и отношения и служит фундаментом для заданий 20 и 21.
- ⚠В отношении 2 : 7 делят величину на 2 или на 7, а не на сумму частей 9
- ⚠Слово «соответственно» игнорируют и приписывают части не тем объектам
- ⚠Долю записывают в ответ как десятичную дробь (0,25), когда просят проценты (25)
- ⚠Путают прямую и обратную пропорциональность: больше рабочих — меньше времени
- ⚠«Восьмая часть» читают как 8 % вместо 12,5 %
Доли и проценты
| Половина | 1/2 = 0,5 = 50 % |
|---|---|
| Треть | 1/3 ≈ 0,333 ≈ 33,3 % (точно не переводится) |
| Четверть | 1/4 = 0,25 = 25 % |
| Пятая часть | 1/5 = 0,2 = 20 % |
| Восьмая часть | 1/8 = 0,125 = 12,5 % |
| Двадцатая часть | 1/20 = 0,05 = 5 % |
| Три четверти | 3/4 = 0,75 = 75 % |
| Две пятых | 2/5 = 0,4 = 40 % |
| Деление в отношении m : n | всего m + n частей; одна часть = величина : (m + n) |
|---|---|
| Отношение трёх величин | a : b : c даёт a + b + c частей; принцип тот же |
| Прямая пропорциональность | величины растут вместе: вдвое больше товара — вдвое больше денег. Отношение постоянно |
| Обратная пропорциональность | одна растёт, другая убывает: вдвое больше рабочих — вдвое меньше времени. Постоянно произведение |
| Основное свойство пропорции | если a : b = c : d, то a · d = b · c (крест-накрест) |
| Масштаб 1 : 25000 | 1 см на карте — это 25000 см на местности, то есть 250 м |
Разбор примера
Деление в отношении: сначала одна часть
Площадь земель фермерского хозяйства составляет 36 гектаров и распределена между зерновыми и овощными культурами в отношении 2 : 7 соответственно. Сколько гектаров занимают овощные культуры?
Показать решение по шагам
- 1. Отношение 2 : 7 значит, что вся площадь делится на 2 + 7 = 9 равных частей.
- 2. Одна часть: 36 : 9 = 4 гектара.
- 3. Слово «соответственно» задаёт порядок: 2 части у зерновых, 7 частей у овощных.
- 4. Овощные: 4 · 7 = 28 гектаров.
- 5. Проверка: зерновые занимают 4 · 2 = 8 гектаров, и 8 + 28 = 36 ✓. Отношение 8 : 28 сокращается на 4 и даёт 2 : 7 ✓.
- 6. Ошибка «поделить 36 на 7» даёт примерно 5,14 — нецелое число, которое сразу выдаёт неверный путь.
Ответ: Ответ: 28
Разбор примера
Обратная пропорциональность: человеко-дни
Бригада из 8 человек выполняет заказ за 6 дней. За сколько дней выполнит тот же заказ бригада из 12 человек, если все работают одинаково?
Показать решение по шагам
- 1. Объём работы удобно измерять в человеко-днях: 8 человек за 6 дней дают 8 · 6 = 48 человеко-дней.
- 2. Заказ не изменился, значит его объём остаётся 48 человеко-дней при любом составе бригады.
- 3. Двенадцать человек выполнят его за 48 : 12 = 4 дня.
- 4. Проверка обратной пропорциональности: людей стало в 12 : 8 = 1,5 раза больше, значит времени нужно в 1,5 раза меньше: 6 : 1,5 = 4 ✓.
- 5. Ошибка «прямая пропорция» (12 человек — значит 6 · 1,5 = 9 дней) противоречит здравому смыслу: больше рабочих не может означать больше времени.
Ответ: Ответ: 4
Разбор примера
Масштаб и прямая пропорция
На карте с масштабом 1 : 25000 расстояние между двумя посёлками равно 6 см. Чему равно расстояние на местности в километрах? И отдельно: 4 кг конфет стоят 1200 рублей — сколько стоят 7 кг?
Показать решение по шагам
- 1. Масштаб 1 : 25000 означает, что 1 см на карте отвечает 25000 см на местности.
- 2. Шесть сантиметров дают 6 · 25000 = 150000 см.
- 3. Переводим в километры: 150000 см = 1500 м = 1,5 км.
- 4. Конфеты. Это прямая пропорциональность: во сколько раз больше товара, во столько раз больше денег.
- 5. Цена одного килограмма: 1200 : 4 = 300 рублей. Тогда 7 кг стоят 300 · 7 = 2100 рублей.
- 6. Через пропорцию: 4 : 1200 = 7 : x, откуда 4x = 1200 · 7 = 8400 и x = 2100 ✓.
Ответ: Ответ: 1,5 км; 2100 рублей
Разбор примера
Отношение в смеси: считаем через одну часть
Бетонная смесь массой 56 килограммов состоит из песка и цемента в отношении 5 : 2 соответственно. Сколько килограммов цемента в этой смеси?
Показать решение по шагам
- 1. Отношение 5 : 2 означает, что вся смесь разделена на 5 + 2 = 7 равных частей: пять приходится на песок и две на цемент.
- 2. Находим массу одной части: 56 : 7 = 8 килограммов.
- 3. Цемент — это две части: 2 · 8 = 16 килограммов.
- 4. Проверка: песок 5 · 8 = 40 кг, вместе 40 + 16 = 56 кг — сходится, и отношение 40 : 16 = 5 : 2.
- 5. Где теряют баллы. Делят массу на 5 или на 2 — то есть на одно из чисел отношения, а не на их сумму. Число частей всегда равно сумме членов отношения. Вторая потеря — находят массу одной части и записывают её в ответ, забыв умножить на 2: в вопросе спрашивают цемент, а не «часть».
Ответ: 16
Отличить прямую пропорциональность от обратной помогает вопрос «если одного станет больше, другого станет больше или меньше?». Больше — прямая (делим или умножаем в ту же сторону); меньше — обратная (постоянно произведение).
Если в ответе на задачу про доли просят процент, знак «%» в бланк не пишется: ответ 25, а не «25 %» и не 0,25.
Вопрос на проверку
Восьмая часть всех книг в библиотеке — справочники. Какой процент от всех книг они составляют?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Число 60 разделили в отношении 1 : 3. Чему равна большая часть?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Четыре одинаковых насоса наполняют бассейн за 9 часов. За сколько часов наполнят его шесть таких насосов?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор экзаменационных заданий
Задание №15 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №15 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №15 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.