ЕГЭ · Математика (база) · Стереометрия: объёмы и площади поверхностей
Куб, параллелепипед и призма
Самые частые тела заданий 11 и 13: коробки, баки, ящики. Объём, площадь поверхности, диагональ и приём «найти недостающее ребро».
🎯 ЕГЭ база: урок закрывает разновидности заданий 11 и 13 с прямоугольными телами и призмами.
- ⚠В площади поверхности забывают множитель 2: считают ab + bc + ac вместо 2(ab + bc + ac)
- ⚠Путают диагональ грани и диагональ параллелепипеда
- ⚠У призмы с треугольным основанием забывают поделить на 2 при вычислении площади треугольника
- ⚠Площадь равностороннего треугольника считают как a²/2 вместо a²√3 : 4
- ⚠В задачах на масштаб коробок умножают на коэффициент один раз вместо каждого измерения
Прямоугольный параллелепипед
| Объём | V = a · b · c |
|---|---|
| Площадь поверхности | S = 2(ab + bc + ac) — три пары равных граней |
| Диагональ параллелепипеда | d² = a² + b² + c² |
| Диагональ грани | d² = a² + b² для грани со сторонами a и b — это уже другая величина |
| Куб с ребром a | V = a³, S = 6a², диагональ грани = a√2, диагональ куба = a√3 |
| Если известен объём и два ребра | третье ребро равно V : (a · b) |
Разбор примера
Диагональ параллелепипеда: два шага Пифагора
В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра DA, DC и диагональ параллелепипеда DB₁ равны соответственно 9, 12 и 25. Найдите объём параллелепипеда.
Показать решение по шагам
- 1. Сначала найдём диагональ основания DB. Основание ABCD — прямоугольник со сторонами 9 и 12, поэтому DB² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225, значит DB = 15.
- 2. Теперь треугольник DBB₁: ребро BB₁ перпендикулярно плоскости основания, поэтому этот треугольник прямоугольный с гипотенузой DB₁ = 25.
- 3. BB₁² = DB₁² − DB² = 625 − 225 = 400, значит BB₁ = 20.
- 4. Объём: V = 9 · 12 · 20 = 2160.
- 5. Проверка формулой диагонали: 9² + 12² + 20² = 81 + 144 + 400 = 625 = 25² ✓.
- 6. Если бы в условии стояла диагональ грани DC₁ = 17, задача решалась бы в один шаг: CC₁² = 17² − 12² = 289 − 144 = 145 — и число получилось бы некрасивым, что сразу выдаёт неверное прочтение условия.
Ответ: Ответ: 2160
Разбор примера
Найти ребро по объёму, потом поверхность
Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны 1 и 5, а объём равен 30. Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.
Показать решение по шагам
- 1. Объём равен произведению трёх измерений, значит третье ребро равно 30 : (1 · 5) = 6.
- 2. Теперь измерения известны: 1, 5 и 6.
- 3. Площадь поверхности: S = 2(ab + bc + ac) = 2(1 · 5 + 5 · 6 + 1 · 6) = 2(5 + 30 + 6) = 2 · 41 = 82.
- 4. Проверка по граням: две грани 1 × 5 дают 10, две грани 5 × 6 дают 60, две грани 1 × 6 дают 12; сумма 10 + 60 + 12 = 82 ✓.
- 5. Забытая двойка дала бы 41 — ровно вдвое меньше правильного ответа.
Ответ: Ответ: 82
Призма
| Прямоугольник | S = a · b |
|---|---|
| Прямоугольный треугольник | S = a · b : 2 (произведение катетов пополам) |
| Равносторонний треугольник со стороной a | S = a²√3 : 4 |
| Правильный шестиугольник со стороной a | S = 3a²√3 : 2 — это шесть равносторонних треугольников |
| Объём призмы | V = Sосн · h. У прямой призмы высота равна боковому ребру |
| Боковая поверхность прямой призмы | Sбок = Pосн · h, где P — периметр основания |
Разбор примера
Правильная треугольная призма
Сторона основания правильной треугольной призмы равна 4, а высота призмы равна 5√3. Найдите объём призмы.
Показать решение по шагам
- 1. В основании лежит равносторонний треугольник со стороной 4. Его площадь: S = a²√3 : 4 = 16√3 : 4 = 4√3.
- 2. Объём призмы: V = S · h = 4√3 · 5√3.
- 3. Перемножаем: 4 · 5 = 20, а √3 · √3 = 3. Итого 20 · 3 = 60.
- 4. Корни в таких задачах всегда «схлопываются» — именно поэтому высоту задают в виде 5√3, а не десятичной дробью.
- 5. Если посчитать площадь треугольника как 4 · 4 : 2 = 8 (формула для прямоугольного), ответ выйдет неверным: равносторонний треугольник со стороной 4 имеет площадь примерно 6,9, а не 8.
Ответ: Ответ: 60
Разбор примера
Призма с прямоугольным треугольником в основании
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен 8, а гипотенуза равна 10. Найдите объём призмы, если её высота равна 5.
Показать решение по шагам
- 1. Второй катет находим по теореме Пифагора: b² = 10² − 8² = 100 − 64 = 36, значит b = 6.
- 2. Площадь основания: S = 8 · 6 : 2 = 24.
- 3. Объём: V = 24 · 5 = 120.
- 4. Пара катетов 6 и 8 с гипотенузой 10 — это знаменитый «египетский» треугольник, увеличенный вдвое (3, 4, 5). Его полезно узнавать сразу.
- 5. Ошибка «взять 8 и 10 как катеты» дала бы площадь 40 и объём 200 — гипотенуза в формуле площади не участвует.
Ответ: Ответ: 120
Масштабирование коробки: если каждое измерение увеличить в k раз, объём вырастет в k³ раз. Если увеличить только одно измерение — ровно в k раз. Разбирайся, что именно меняется, прежде чем возводить в степень.
У куба с ребром a диагональ грани равна a√2, а диагональ самого куба — a√3. Если в условии дана диагональ грани 6√2, то ребро равно 6, а объём 216.
Вопрос на проверку
Первая коробка (правильная четырёхугольная призма) в четыре раза ниже второй, а вторая в полтора раза шире первой. Во сколько раз объём второй коробки больше объёма первой?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Диагональ грани куба равна 6√2. Чему равен объём куба?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Площадь поверхности куба равна 96. Чему равно его ребро?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №13 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №13 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №13 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.