ЕГЭ · Математика (база) · Планиметрия: фигуры на плоскости
Площади фигур и площадь по клеткам (задания 9 и 12)
Все нужные формулы площади в одном месте плюс три способа найти площадь фигуры, нарисованной по узлам сетки, — это ровно то, что спрашивает задание 9.
🎯 ЕГЭ база: задание 9 — площадь фигуры на клетчатой бумаге или по координатам; задание 12 — площадь по формуле (ромб, трапеция, параллелограмм, подобие).
- ⚠Забывают множитель ½ в площади треугольника и трапеции
- ⚠Берут высоту, не перпендикулярную выбранному основанию: боковую сторону вместо высоты
- ⚠В формуле шнурков теряют модуль и получают отрицательную площадь
- ⚠Считают клетки как метры, когда сторона клетки не равна 1
- ⚠В подобии умножают площадь на коэффициент, а не на его квадрат
Формулы площади: полный список для базы
| Прямоугольник | S = a · b. Квадрат — частный случай: S = a² |
|---|---|
| Треугольник | S = ½ · a · h, где h — высота, проведённая к стороне a. Для прямоугольного проще: S = ½ · катет · катет |
| Параллелограмм | S = a · h. Множителя ½ здесь нет: параллелограмм — это два одинаковых треугольника |
| Ромб | S = ½ · d₁ · d₂ (через диагонали) или S = a · h (как у любого параллелограмма). Обе формулы верны, выбирай по данным |
| Трапеция | S = ½ · (a + b) · h = средняя линия · высота, где a и b — основания |
| Круг | S = πR², длина окружности C = 2πR = πd. Площадь кольца между радиусами R и r равна π(R² − r²) |
| Подобные фигуры | если все линейные размеры увеличили в k раз, площадь выросла в k² раз, а объём — в k³ раз |
Обратная задача: площадь известна, ищем сторону или высоту
Половина «формульных» задач банка сформулирована наоборот: дана площадь, найти высоту или сторону. Механика одна — подставить в формулу и решить простейшее уравнение. Площадь параллелограмма 42, сторона 7: 42 = 7 · h, значит h = 6. Площадь треугольника 60, сторона 24: 60 = ½ · 24 · h = 12h, значит h = 5. Одна диагональ ромба 12, площадь 96: 96 = ½ · 12 · d₂ = 6 · d₂, значит d₂ = 16; а если дальше спрашивают сторону, вспоминаем, что диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому сторона — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами 6 и 8, то есть 10. Средняя линия трапеции 12, одно основание 9: полусумма оснований равна 12, значит сумма оснований 24, и второе основание 24 − 9 = 15. Заметь: во всех случаях сначала выписывается формула, и только потом в неё подставляются числа. Попытка «прикинуть в уме» здесь и даёт основную массу потерянных баллов.
Разбор примера
Ромб: от высоты и угла — к площади
Найдите площадь ромба, если его высота равна 16, а острый угол равен 30°.
Показать решение по шагам
- 1. Опустим высоту из вершины тупого угла на сторону ромба. Получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — сторона ромба a, а высота 16 лежит против угла 30°.
- 2. Синус острого угла: sin 30° = 16 : a, а sin 30° = 0,5. Значит 0,5 = 16 : a, откуда a = 32.
- 3. Площадь ромба как параллелограмма: S = a · h = 32 · 16 = 512.
- 4. Проверка: сторона 32 больше высоты 16 — так и должно быть, высота не может превышать сторону.
- 5. Частая ошибка: умножить 16 на 0,5 и получить сторону 8, а затем площадь 128. Но тогда высота (16) оказалась бы больше стороны (8) — геометрически невозможно.
Ответ: Ответ: 512
Задание 9: фигура в узлах сетки
Три способа, и когда какой быстрее
В задании 9 фигура задана координатами вершин в узлах клетчатой бумаги (или планом местности со стороной клетки 1 м). Способ первый — разрезать на прямоугольники и прямоугольные треугольники со сторонами по линиям сетки и сложить площади. Хорош для «ступенчатых» участков, где все стороны идут по клеткам. Способ второй — достроить до прямоугольника: описать вокруг фигуры прямоугольник со сторонами по сетке и вычесть площади угловых прямоугольных треугольников. Незаменим для косых треугольников. Способ третий — формула шнурков по координатам: S = ½ · |сумма (xᵢ · yᵢ₊₁ − xᵢ₊₁ · yᵢ)|, где вершины перечислены подряд по контуру, а после последней снова идёт первая. Формула шнурков не требует чертежа вообще и работает для любого многоугольника без самопересечений — на экзамене это самый надёжный способ, если вершины уже перечислены в порядке обхода. Отдельно стоит запомнить: если у фигуры есть горизонтальные стороны (трапеция, параллелограмм), считать почти нечего — длины оснований равны разностям абсцисс, а высота равна разности ординат.
Разбор примера
Косой треугольник: достройка и шнурки дают один ответ
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 в узлах сетки отмечены точки A(1; 3), B(8; 0), C(3; 10). Найдите площадь треугольника ABC.
Показать решение по шагам
- 1. Способ «достройка». Опишем прямоугольник по крайним координатам: x от 1 до 8 (ширина 7), y от 0 до 10 (высота 10). Его площадь 7 · 10 = 70.
- 2. Отрезаем три угловых прямоугольных треугольника. Между A и B: катеты 8 − 1 = 7 и 3 − 0 = 3, площадь 7 · 3 : 2 = 10,5.
- 3. Между A и C: катеты 3 − 1 = 2 и 10 − 3 = 7, площадь 2 · 7 : 2 = 7.
- 4. Между B и C: катеты 8 − 3 = 5 и 10 − 0 = 10, площадь 5 · 10 : 2 = 25.
- 5. Площадь треугольника: 70 − 10,5 − 7 − 25 = 27,5.
- 6. Способ «шнурки». Считаем (1·0 − 8·3) + (8·10 − 3·0) + (3·3 − 1·10) = (0 − 24) + (80 − 0) + (9 − 10) = −24 + 80 − 1 = 55. Площадь: ½ · |55| = 27,5. Оба способа сошлись.
Ответ: Ответ: 27,5
Разбор примера
Ступенчатый участок: разрезаем на прямоугольники
План местности разбит на клетки со стороной 1 м × 1 м. Участок имеет форму многоугольника, все вершины которого лежат в узлах сетки и в порядке обхода имеют координаты (0; 0), (7; 0), (7; 3), (4; 3), (4; 6), (0; 6). Найдите площадь участка в квадратных метрах.
Показать решение по шагам
- 1. Нарисуем контур: из начала координат вправо до (7; 0), вверх до (7; 3), влево до (4; 3), вверх до (4; 6), влево до (0; 6) и вниз к началу. Получилась «ступенька».
- 2. Разрежем горизонтальной линией y = 3 на два прямоугольника. Нижний: x от 0 до 7 и y от 0 до 3, площадь 7 · 3 = 21 м².
- 3. Верхний: x от 0 до 4 и y от 3 до 6, площадь 4 · 3 = 12 м².
- 4. Итого: 21 + 12 = 33 м².
- 5. Проверка шнурками: (0·0 − 7·0) + (7·3 − 7·0) + (7·3 − 4·3) + (4·6 − 4·3) + (4·6 − 0·6) + (0·0 − 0·6) = 0 + 21 + 9 + 12 + 24 + 0 = 66, площадь ½ · 66 = 33. Сходится.
Ответ: Ответ: 33
Разбор примера
Площадь кольца между двумя окружностями
На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 отмечены точки O, A и B. Построены две окружности с общим центром O: меньшая проходит через A, большая — через B. Известно, что OA = 6 клеток, а OB = 10 клеток. Найдите площадь кольца между окружностями. В ответе укажите площадь, делённую на π.
Показать решение по шагам
- 1. Радиусы снимаем прямо с клетчатой бумаги: r = OA = 6, R = OB = 10. Если отрезок идёт не по линии сетки, его длину считают по теореме Пифагора, но здесь он горизонтальный.
- 2. Кольцо — это большой круг, из которого вырезан малый. Значит его площадь равна разности площадей.
- 3. S = πR² − πr² = π·(R² − r²).
- 4. Считаем скобку: 10² − 6² = 100 − 36 = 64.
- 5. Значит S = 64π. В ответе просят площадь, делённую на π, поэтому записываем 64.
- 6. Удобно считать разность квадратов по формуле: R² − r² = (R − r)(R + r) = 4 · 16 = 64 — то же самое, но без возведения в квадрат.
- 7. Где теряют баллы. Считают разность радиусов и возводят её в квадрат: (10 − 6)² = 16. Это не площадь кольца, а площадь круга радиуса 4 без множителя π. Разность квадратов и квадрат разности — разные выражения. Вторая потеря — записывают ответ «64π», хотя просили разделить на π: в бланк идёт только число.
Ответ: 64
Если в условии сказано «сторона клетки 1 м», то одна клетка — это 1 м², и число клеток совпадает с площадью в метрах. Но если сторона клетки 2 м, площадь клетки уже 4 м²: площадь в клетках надо умножать на квадрат стороны, а не на саму сторону.
Какой способ выбрать в задании 9
- • Разрезай на прямоугольники
- • Ничего не нужно, кроме умножения
- • Подходит для планов участков «ступенькой»
- • Достраивай до прямоугольника и вычитай углы
- • Или сразу считай по формуле шнурков
- • Ответ часто получается с половинкой
Вопрос на проверку
Площадь треугольника равна 60, одна из его сторон равна 24. Чему равна высота, проведённая к этой стороне?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Периметры двух подобных треугольников относятся как 5 : 2, площадь меньшего равна 8. Чему равна площадь большего?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
На клетчатой бумаге с клеткой 1 × 1 отмечены вершины трапеции A(1; 2), B(4; 6), C(8; 6), D(12; 2) с основаниями AD и BC. Чему равна её площадь?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №9 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №9 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №12 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.