ОГЭ 2027 · Математика
Задание 15 ОГЭ по математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 210+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ОГЭ: №15 — треугольники, четырёхугольники, многоугольники и их элементы
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Путают синус и косинус: умножают гипотенузу на косинус, когда нужен синус
- Берут за гипотенузу не ту сторону — гипотенуза всегда лежит против прямого угла
- В теореме Пифагора складывают квадраты, когда нужно вычесть (ищут катет, а не гипотенузу)
- Считают, что катет против угла 30° равен половине другого катета, а не половине гипотенузы
- Записывают ответ с корнем, хотя число получается целым: √49 надо довести до 7
Совет. Синус — это противолежащий катет, делённый на гипотенузу. Начинай решение с того, что подписываешь на чертеже, какая сторона гипотенуза, а какие катеты
Аналитика ОГЭ: №15 — углы и элементы произвольного треугольника
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте (чередуется с сюжетом про прямоугольный треугольник)
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Считают равными углы при вершине, а не при основании равнобедренного треугольника
- Путают внешний угол с внутренним и забывают, что они смежные
- Берут высоту равностороннего треугольника равной половине стороны
- В формуле площади подставляют не ту высоту — не к выбранному основанию
- Считают, что медиана делит угол пополам (это делает биссектриса)
Совет. Почти любую задачу этой группы решает связка сумма углов 180° плюс равнобедренность: найди равные стороны — получишь равные углы
Разборы
Разбор примера
Дан синус и гипотенуза
В треугольнике ABC угол C равен 90°, sin A = 0,6, AB = 20. Найдите BC.
Показать решение по шагам
- 1. Прямой угол при вершине C, значит гипотенуза — сторона AB = 20, а катеты — AC и BC.
- 2. Рассматриваем угол A. В названии стороны BC нет буквы A, значит BC — противолежащий катет для угла A.
- 3. Противолежащий катет и гипотенуза связаны синусом: sin A = BC / AB.
- 4. Подставляем: 0,6 = BC / 20, значит BC = 20 · 0,6 = 12.
- 5. Проверка правдоподобия: 12 < 20, катет меньше гипотенузы — всё согласуется.
- 6. Дополнительный контроль по Пифагору: cos A = √(1 − 0,36) = 0,8, тогда AC = 20 · 0,8 = 16, и 12² + 16² = 144 + 256 = 400 = 20². Сходится.
Ответ: Ответ: 12
Разбор примера
Дан косинус, а спрашивают другой катет
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cos A = 0,8, AB = 20. Найдите BC.
Показать решение по шагам
- 1. Дан косинус, а BC — противолежащий катет для угла A, то есть напрямую косинус его не даёт.
- 2. Сначала находим синус по основному тождеству: sin²A = 1 − cos²A = 1 − 0,64 = 0,36, значит sin A = 0,6 (угол острый, берём положительный корень).
- 3. Теперь BC = AB · sin A = 20 · 0,6 = 12.
- 4. Второй путь без тригонометрии: AC = AB · cos A = 20 · 0,8 = 16, дальше по теореме Пифагора BC = √(20² − 16²) = √(400 − 256) = √144 = 12.
- 5. Оба пути дали 12 — значит арифметика верна.
Ответ: Ответ: 12
Разбор примера
Дан тангенс: гипотенуза не нужна
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tg A = 3/4, AC = 8. Найдите BC.
Показать решение по шагам
- 1. Тангенс связывает только два катета: tg A = противолежащий / прилежащий = BC / AC.
- 2. Подставляем известное: 3/4 = BC / 8.
- 3. Отсюда BC = 8 · 3/4 = 6.
- 4. Типичная ошибка — считать AC гипотенузой и писать BC = 8 · 0,6 = 4,8. Но гипотенуза здесь AB, и она в условии не дана вообще.
- 5. Проверка: катеты 6 и 8 дают гипотенузу √(36 + 64) = 10, и тогда sin A = 6/10 = 0,6, cos A = 8/10 = 0,8, tg A = 0,6/0,8 = 0,75 = 3/4. Условие выполнено.
Ответ: Ответ: 6
Разбор примера
Угол 30° без всякой тригонометрии
В треугольнике ABC угол C равен 90°, угол A равен 30°, AB = 14. Найдите BC.
Показать решение по шагам
- 1. Гипотенуза AB = 14, ищем катет BC, который противолежит углу A = 30°.
- 2. Свойство: катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.
- 3. BC = 14 : 2 = 7.
- 4. Через тригонометрию получится то же самое: BC = AB · sin 30° = 14 · 0,5 = 7.
- 5. Частая ошибка — «половина» применяется ко второму катету. Проверим: AC = 14 · cos 30° = 14 · 0,87 ≈ 12,1, и это точно не 7. Половина гипотенузы — только у катета против угла 30°.
Ответ: Ответ: 7
Разбор примера
Внешний угол в два действия
В треугольнике ABC угол A равен 47°, угол B равен 73°. Найдите внешний угол при вершине C.
Показать решение по шагам
- 1. Первый способ. Находим внутренний угол C: 180° − 47° − 73° = 60°.
- 2. Внешний угол при C смежен с внутренним, значит равен 180° − 60° = 120°.
- 3. Второй способ (в одно действие). Внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних: 47° + 73° = 120°.
- 4. Оба способа дали 120° — значит арифметика верна.
- 5. Ошибка, дающая неверный ответ 60: ученик находит внутренний угол C и записывает его, не заметив слова «внешний» в вопросе.
Ответ: Ответ: 120
Уроки по этой линии
- Задание 15: прямоугольный треугольник — теорема Пифагора и тригонометрия — открыт бесплатно
- Задание 15: равнобедренный, равносторонний и произвольный треугольник
Потренируй задание 15
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.