ОГЭ 2027 · Математика
Задание 16 ОГЭ по математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ОГЭ: №16 — окружность, круг и их элементы
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Умножают на 2 вместо деления: ищут вписанный угол, а находят центральный
- Забывают, что угол, опирающийся на диаметр, равен 90°
- Не замечают, что два радиуса всегда дают равнобедренный треугольник
- Считают, что вписанные углы на разные дуги равны
- Работают с градусной мерой дуги так, будто это длина
Совет. Всё в этой линии сводится к одному соотношению: вписанный угол вдвое меньше дуги, на которую опирается, а центральный равен этой дуге
Аналитика ОГЭ: №16 — касательные, хорды, вписанные и описанные окружности
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте (чередуется с сюжетом про углы и дуги)
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Забывают отметить прямой угол между радиусом и касательной — без него задача не решается
- Считают угол между касательными равным центральному, а не дополняющим его до 180°
- Не используют, что перпендикуляр из центра делит хорду пополам
- Берут радиус там, где в условии дан диаметр
- Путают вписанную окружность (внутри фигуры) и описанную (снаружи)
Совет. Первым делом проведи радиусы в точки касания и подпиши на них по 90°: после этого почти всегда появляется прямоугольный треугольник или очевидный четырёхугольник
Аналитика ОГЭ: №16 (окружность), №17 (четырёхугольники и площади), №19 (верные утверждения)
- Баллы
- по 1 первичному баллу за задание
- Частота
- формула длины окружности и суммы углов многоугольника встречаются и в №19
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Путают радиус и диаметр: C = 2πR, но C = πd
- В формуле площади круга возводят в квадрат π, а не радиус
- Считают сумму углов n-угольника как 180° · n вместо 180° · (n − 2)
- Думают, что сумма внешних углов зависит от n (она всегда 360°)
- Забывают, что около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Совет. Если в условии просят «считая π = 3», это подсказка: ответ должен получиться целым числом, и подставлять надо именно 3
Разборы
Разбор примера
Из центрального во вписанный и обратно
Центральный угол AOB равен 80°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу AB.
Показать решение по шагам
- 1. Дуга AB равна центральному углу AOB, то есть 80°.
- 2. Вписанный угол ACB опирается на эту же дугу, значит равен её половине.
- 3. Угол ACB = 80° : 2 = 40°.
- 4. Обратная задача решается зеркально: если вписанный угол равен 34°, то дуга равна 68°, и центральный угол на ту же дугу тоже 68°.
- 5. Направление действия определяется одним вопросом: где вершина угла. В центре — угол больше, на окружности — меньше вдвое. Ошибка «умножил вместо деления» здесь даёт 160 вместо 40.
Ответ: Ответ: 40
Разбор примера
Треугольник, вписанный в окружность с диаметром
Треугольник ABC вписан в окружность так, что AB — диаметр. Угол A равен 25°. Найдите угол B.
Показать решение по шагам
- 1. Угол C опирается на сторону AB, а AB — диаметр, значит угол C = 90°.
- 2. Теперь треугольник ABC прямоугольный с прямым углом при C.
- 3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому угол B = 90° − 25° = 65°.
- 4. Тот же ответ через сумму углов: 180° − 90° − 25° = 65°.
- 5. Ошибка, дающая 155: ученик считает 180° − 25° и забывает про прямой угол при C.
Ответ: Ответ: 65
Разбор примера
Два радиуса — равнобедренный треугольник
Точки A и B лежат на окружности с центром O. Центральный угол AOB равен 30°. Найдите угол OAB.
Показать решение по шагам
- 1. OA и OB — радиусы одной окружности, значит OA = OB и треугольник AOB равнобедренный с основанием AB.
- 2. Углы при основании равны: угол OAB = угол OBA.
- 3. На эти два угла приходится 180° − 30° = 150°.
- 4. Значит угол OAB = 150 : 2 = 75°.
- 5. Проверка: 75 + 75 + 30 = 180 — сумма углов сходится.
- 6. Ошибка, дающая 15: угол при вершине делят пополам вместо того, чтобы делить пополам оставшиеся 150°.
Ответ: Ответ: 75
Разбор примера
От дуги к вписанному углу
Точки A, B и C лежат на окружности. Дуга AB, не содержащая точку C, равна 70°. Найдите вписанный угол ACB. Ответ дайте в градусах.
Показать решение по шагам
- 1. Разберём формулировку. Вписанный угол ACB — тот, у которого вершина на окружности, а стороны проходят через точки A и B. Он опирается на дугу AB, и это должна быть именно та дуга, внутри которой вершины C нет. В условии это сказано прямо: «дуга AB, не содержащая точку C».
- 2. Правило: вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. Значит ∠ACB = 70° : 2 = 35°.
- 3. Ответ: 35°.
- 4. Почему условие уточняет, какая именно дуга. Две точки A и B делят окружность на две дуги, и вместе они дают 360°. Если дуга AB, не содержащая C, равна 70°, то вторая дуга AB (та, на которой лежит C) равна 360° − 70° = 290°. Половина от 290° — это 145°, и такой угол тоже существует: его даёт вершина, лежащая на первой дуге. Поэтому без уточнения задача была бы неоднозначной.
- 5. Отсюда полезное следствие, которое спрашивают отдельно. Если два вписанных угла опираются на разные дуги одной хорды, их сумма равна 180°. Это и есть причина того, что у вписанного четырёхугольника суммы противоположных углов равны 180°: каждая пара опирается на две дополняющие друг друга дуги.
- 6. Свяжем всё в одну шкалу, чтобы не путать три угла. Центральный угол (вершина в центре) равен дуге. Вписанный угол (вершина на окружности) равен половине дуги. Отсюда: вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Если дуга 70°, то центральный угол 70°, а вписанный 35°.
- 7. И крайний случай, который стоит держать в памяти как проверку: если дуга равна 180° (то есть хорда — диаметр), вписанный угол равен 90°. Любой ответ больше 90° для угла, опирающегося на дугу меньше полуокружности, — признак ошибки.
- 8. Как читать такие условия быстро. Слово «центральный» значит «вершина в центре, угол равен дуге». Слово «вписанный» значит «вершина на окружности, угол равен половине дуги». Если про дугу сказано «не содержащая точку C», значит это та самая дуга, которую надо делить на два, без всяких вычитаний из 360°.
Ответ: 35
Разбор примера
Угол между касательными → угол ABO
Касательные в точках A и B к окружности с центром в точке O пересекаются под углом 72°. Найдите угол ABO.
Показать решение по шагам
- 1. Проводим радиусы OA и OB. Углы OAP и OBP прямые (радиус перпендикулярен касательной), где P — точка пересечения касательных.
- 2. В четырёхугольнике OAPB: 90° + 90° + 72° + угол AOB = 360°, откуда угол AOB = 360° − 252° = 108°.
- 3. Треугольник AOB равнобедренный: OA = OB = R.
- 4. Углы при основании AB равны: угол ABO = угол OAB = (180° − 108°) : 2 = 72 : 2 = 36°.
- 5. Проверка: 36 + 36 + 108 = 180 — сумма углов треугольника сходится.
- 6. Ошибка, дающая 54: центральный угол берут равным углу между касательными (72°) и считают (180 − 72)/2 = 54.
Ответ: Ответ: 36
Уроки по этой линии
- Задание 16: окружность — центральные и вписанные углы
- Задание 16: касательные, хорды, вписанная и описанная окружности
- Длина окружности, площадь круга и многоугольники
Потренируй задание 16
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.