Задание 14 ОГЭ по математике

1. 1. Выпишем начало прогрессии: 5, 8, 11, 14, 17… Видно, что от a₁ к a₂ сделан один шаг, к a₃ — два шага.
2. 2. Значит от a₁ к a₁₀ делается 10 − 1 = 9 шагов по 3.
3. 3. a₁₀ = 5 + 3 · 9 = 5 + 27 = 32.
4. 4. Проверка перечислением: 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32 — десятый член действительно 32.
5. 5. Если бы умножили на 10, получилось бы 35 — это уже одиннадцатый член. Ошибка ровно в один шаг, но балл теряется полностью.

Ответ: Ответ: 32

1. 1. Это арифметическая прогрессия: a₁ = 5, d = 1, число членов n = 10.
2. 2. Находим последний член: a₁₀ = 5 + 1 · (10 − 1) = 5 + 9 = 14.
3. 3. Значит ряды содержат 5, 6, 7, …, 14 брёвен.
4. 4. Сумма: S₁₀ = (a₁ + a₁₀)/2 · n = (5 + 14)/2 · 10 = 19/2 · 10 = 9,5 · 10 = 95.
5. 5. Проверка идеей Гаусса: разобьём ряды на пары с концов — (5 + 14), (6 + 13), (7 + 12), (8 + 11), (9 + 10). Пять пар по 19 дают 5 · 19 = 95. Сходится.

Ответ: Ответ: 95

1. 1. От третьего члена до седьмого — четыре шага (с 3-го на 4-й, 5-й, 6-й, 7-й), а не семь и не три. Число шагов равно разности номеров: 7 − 3 = 4.
2. 2. За эти четыре шага значение выросло на 22 − 10 = 12.
3. 3. Каждый шаг прибавляет одно и то же d, поэтому d = 12 : 4 = 3.
4. 4. Теперь первый член: от a₁ до a₃ два шага, значит a₁ = a₃ − 2d = 10 − 2 · 3 = 4.
5. 5. Проверка по формуле: a₇ = a₁ + 6d = 4 + 18 = 22. Совпало.
6. 6. Самая частая ошибка — поделить 12 на 7 − 3 + 1 = 5 или на 7. Шагов всегда на один меньше, чем членов в отрезке прогрессии, — по той же причине, по которой в формуле aₙ стоит (n − 1), а не n.

Ответ: Ответ: d = 3, a₁ = 4

1. 1. Слова «прогрессия» в условии нет, но «каждый час на 15 литров меньше» — это признак арифметической прогрессии с отрицательной разностью d = −15.
2. 2. Первый член — то, что в баке в начале: a₁ = 200. Через час останется 185, через два — 170, и так далее.
3. 3. Через 9 часов вытечет 9 · 15 = 135 литров.
4. 4. Осталось: 200 − 135 = 65 литров.
5. 5. Ловушка нумерации: если считать a₁ = 200 первым членом, то «через 9 часов» — это десятый член: a₁₀ = 200 + 9 · (−15) = 65. Ответ тот же, но по формуле aₙ = a₁ + (n − 1)d надо брать n = 10, а не 9. Проще всего не нумеровать вовсе, а умножать число часов на расход.
6. 6. Контроль на смысл: воды должно хватить на 200 : 15 ≈ 13,3 часа, поэтому через 9 часов бак ещё не пуст — ответ 65 правдоподобен.

Ответ: Ответ: 65

1. 1. а) По формуле bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹ при n = 5: b₅ = 3 · 2⁴ = 3 · 16 = 48. Показатель на единицу меньше номера — та же логика, что и в (n − 1) у арифметической.
2. 2. Проверка перечислением: 3, 6, 12, 24, 48. Пятый член действительно 48.
3. 3. б) «Каждый год на 10 % больше» означает умножение на 1,1 — это геометрическая прогрессия с q = 1,1, а не прибавление одного и того же числа рублей.
4. 4. Через год: 20 000 · 1,1 = 22 000. Через два: 22 000 · 1,1 = 24 200. Через три: 24 200 · 1,1 = 26 620.
5. 5. Короче тем же множителем: 20 000 · 1,1³ = 20 000 · 1,331 = 26 620.
6. 6. Ошибка, которую здесь и проверяют: посчитать 10 % один раз и умножить на три — 20 000 + 3 · 2000 = 26 000. Это арифметическая модель, а проценты начисляются на выросшую сумму, поэтому настоящий ответ больше на 620 рублей.

Ответ: Ответ: а) 48; б) 26 620