ОГЭ · Математика · Геометрия, часть 1 (№15–19)
Задание 15: равнобедренный, равносторонний и произвольный треугольник
Вторая половина линии 15: углы треугольника, свойства равнобедренного и равностороннего, медианы, биссектрисы, средняя линия и площадь.
- ⚠Считают равными углы при вершине, а не при основании равнобедренного треугольника
- ⚠Путают внешний угол с внутренним и забывают, что они смежные
- ⚠Берут высоту равностороннего треугольника равной половине стороны
- ⚠В формуле площади подставляют не ту высоту — не к выбранному основанию
- ⚠Считают, что медиана делит угол пополам (это делает биссектриса)
Углы треугольника
| Сумма углов | в любом треугольнике сумма внутренних углов равна 180° |
|---|---|
| Внешний угол | равен сумме двух внутренних, не смежных с ним; со своим внутренним он составляет 180° |
| Против большей стороны | лежит больший угол, и наоборот. Значит в треугольнике со сторонами 5, 7, 9 наибольший угол лежит против 9 |
| Неравенство треугольника | каждая сторона меньше суммы двух других: набора 2, 3, 6 не существует, потому что 2 + 3 < 6 |
| Смежные и вертикальные | смежные в сумме 180°, вертикальные равны |
Разбор примера
Внешний угол в два действия
В треугольнике ABC угол A равен 47°, угол B равен 73°. Найдите внешний угол при вершине C.
Показать решение по шагам
- 1. Первый способ. Находим внутренний угол C: 180° − 47° − 73° = 60°.
- 2. Внешний угол при C смежен с внутренним, значит равен 180° − 60° = 120°.
- 3. Второй способ (в одно действие). Внешний угол равен сумме двух не смежных с ним внутренних: 47° + 73° = 120°.
- 4. Оба способа дали 120° — значит арифметика верна.
- 5. Ошибка, дающая неверный ответ 60: ученик находит внутренний угол C и записывает его, не заметив слова «внешний» в вопросе.
Ответ: Ответ: 120
Равнобедренный и равносторонний
| Углы при основании | равны между собой. Основание — та сторона, которая не равна двум другим |
|---|---|
| Три линии в одной | медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. К боковой стороне это не так |
| Как найти углы | если угол при вершине равен α, то каждый угол при основании равен (180° − α)/2; если угол при основании равен β, то угол при вершине равен 180° − 2β |
| Равносторонний | все стороны равны, все углы по 60°; высота = a√3/2; площадь = a²√3/4 |
| Средняя линия | соединяет середины двух сторон, параллельна третьей и равна её половине |
| Медианы | пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2 : 1, считая от вершины |
Высота равнобедренного треугольника — это всегда Пифагор
Как только в равнобедренном треугольнике проводят высоту к основанию, задача перестаёт быть «про равнобедренный» и становится задачей про прямоугольный треугольник. Причина в том, что эта высота одновременно является медианой, то есть делит основание ровно пополам. Получается прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза — боковая сторона, один катет — половина основания, второй катет — искомая высота. Дальше работает теорема Пифагора. Именно поэтому в задачах этой линии числа подбирают так, чтобы половина основания и боковая сторона образовали пифагорову тройку: 6 и 10 дают 8, 5 и 13 дают 12, 8 и 17 дают 15. Обратный ход тоже встречается: если известны высота и основание, боковая сторона находится как гипотенуза, то есть корень из суммы квадратов. Главная ошибка здесь — делить пополам боковую сторону вместо основания. Проверка простая: высота к основанию всегда меньше боковой стороны, ведь боковая сторона в этом прямоугольном треугольнике — гипотенуза.
Разбор примера
Высота к основанию
В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны 10, а основание равно 12. Найдите высоту, проведённую к основанию.
Показать решение по шагам
- 1. Высота к основанию в равнобедренном треугольнике является и медианой, поэтому она делит основание пополам: каждая половина равна 12 : 2 = 6.
- 2. Образовался прямоугольный треугольник: гипотенуза — боковая сторона 10, один катет — половина основания 6, второй катет — искомая высота h.
- 3. По теореме Пифагора: h = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8.
- 4. Проверка правдоподобия: 8 < 10, высота меньше боковой стороны — верно.
- 5. Заодно можно найти площадь: S = ½ · 12 · 8 = 48.
- 6. Частая ошибка — делить пополам не основание, а боковую сторону: тогда получается √(12² − 5²) = √119 ≈ 10,9, число не целое и большее боковой стороны, — верный признак того, что ход выбран неправильно.
Ответ: Ответ: 8
Три отрезка из вершины: что они делают
- • Идёт в середину противоположной стороны
- • Делит треугольник на две равновеликие части
- • Угол пополам не делит (кроме равнобедренного случая)
- • Три медианы пересекаются в точке, делящей их 2 : 1
- • Делит угол пополам
- • Делит противоположную сторону в отношении прилежащих сторон
- • Точка пересечения трёх биссектрис — центр вписанной окружности
- • Перпендикулярна противоположной стороне
- • В тупоугольном треугольнике может падать вне треугольника
- • Входит в формулу площади S = ½ · a · h
| Через основание и высоту | S = ½ · a · h, где h — высота, проведённая именно к стороне a |
|---|---|
| Через две стороны и угол | S = ½ · a · b · sin γ, где γ — угол между этими сторонами |
| Формула Герона | S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p = (a+b+c)/2 — полупериметр |
| Прямоугольный треугольник | S = ½ · a · b по двум катетам — частный случай первой формулы |
Разбор примера
Площадь через синус угла
В треугольнике ABC стороны AB = 10 и AC = 12, а угол A равен 30°. Найдите площадь треугольника.
Показать решение по шагам
- 1. Известны две стороны и угол между ними — работает формула S = ½ · AB · AC · sin A.
- 2. sin 30° = 0,5.
- 3. S = ½ · 10 · 12 · 0,5 = 30.
- 4. Контроль: если бы угол был прямым, площадь была бы ½ · 10 · 12 = 60. Угол меньше 90°, значит и площадь должна быть меньше 60 — 30 подходит.
- 5. Ошибка, дающая ответ 60: забывают множитель sin 30° и считают стороны катетами.
Ответ: Ответ: 30
Разбор примера
Площадь через сторону и высоту к ней
В треугольнике ABC сторона AC равна 8, а высота BH, проведённая к этой стороне, равна 5. Найдите площадь треугольника ABC.
Показать решение по шагам
- 1. Задача выглядит совсем простой, и именно поэтому на ней ошибаются: подставляют не в ту формулу или забывают половину. Разберём её до конца, потому что этот же расчёт входит потом в номера 23 и 25.
- 2. Формула площади треугольника: S = ½ · a · h, где a — сторона, а h — высота, проведённая именно к этой стороне. Оговорка про «именно к этой» — главная: высота и сторона должны быть парой.
- 3. Здесь пара дана прямо: сторона AC = 8 и высота BH к ней равна 5. Значит подставляем без всяких построений: S = ½ · 8 · 5 = 20.
- 4. Ответ: 20.
- 5. Теперь о том, почему формула именно такая, — это помогает её не путать. Достроим треугольник до параллелограмма, приложив к нему такой же перевёрнутый треугольник. Получится параллелограмм с тем же основанием a и той же высотой h, а его площадь равна a · h. Наш треугольник — ровно половина этого параллелограмма, отсюда и множитель ½.
- 6. Три ловушки, на которых теряют балл в этой формулировке. Первая — потерять половину: ответ 40 вместо 20. Вторая — взять высоту не к той стороне: если бы в условии дали AB = 8 и высоту к AC = 5, перемножать их было бы нельзя. Третья — высота вне треугольника: у тупоугольного треугольника высота к меньшей стороне падает на продолжение стороны, и это не мешает формуле — считают всё равно по длине стороны, а не по расстоянию до основания высоты.
- 7. Заодно запомним все способы посчитать площадь треугольника, потому что в номерах 23 и 25 выбирают между ними. Через сторону и высоту к ней: S = ½ah. Через две стороны и угол между ними: S = ½ab·sin C. Через три стороны (формула Герона): S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)). Через полупериметр и радиус вписанной окружности: S = p·r. Через три стороны и радиус описанной: S = abc/(4R). Выбирают ту, для которой все данные уже есть.
- 8. И обратный вопрос, который встречается не реже прямого: «площадь равна 20, сторона AC равна 8, найдите высоту». Тогда h = 2S / a = 40 : 8 = 5. Из одной формулы получают три задачи, и все три решаются одним и тем же преобразованием.
Ответ: 20
Ловушка «не та высота». В формуле S = ½ · a · h высота обязана быть проведена к той самой стороне a, которую взяли за основание. Если в треугольнике со сторонами 8 и 5 дана высота 4, проведённая к стороне 8, то площадь равна ½ · 8 · 4 = 16, а не ½ · 5 · 4 = 10. Всегда проверяй, к какой стороне перпендикулярна данная высота.
Ловушка «средняя линия». Средняя линия треугольника равна половине той стороны, которой она параллельна, а не половине наибольшей стороны и не половине периметра. Если средняя линия равна 7, то параллельная ей сторона равна 14, а про остальные стороны ничего сказать нельзя.
Вопрос на проверку
В равнобедренном треугольнике угол при вершине равен 40°. Чему равен угол при основании?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Сторона равностороннего треугольника равна 6. Чему равна его высота?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Могут ли отрезки длиной 4, 5 и 10 быть сторонами треугольника?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №15 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №15 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №15 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.