ОГЭ · Математика · Часть 2: алгебра, развёрнутый ответ (№20–22)
Уравнения, неравенства и системы (№20)
Задание 20 — первое задание второй части, и оно самое «берущееся»: почти всегда это уравнение, которое раскладывается на множители или сводится заменой к квадратному. Главное — записать полное решение, а не только ответ.
- ⚠Теряют часть корней при разложении
- ⚠Не учитывают ОДЗ в дробных уравнениях
- ⚠Пропускают обоснование преобразований
Часть 2: уравнения и системы
Определение
Развёрнутый ответ — в части 2 нужно записать полное обоснованное решение. Оценивает эксперт: важен не только ответ, но и логика преобразований без пропусков
| Группировка | вынести общий множитель: x²(x+4) − (x+4) = (x+4)(x²−1) |
|---|---|
| Разложение на множители | произведение = 0 ⇒ каждый множитель = 0 |
| Замена переменной | для биквадратных: t = x² |
| Дробно-рациональные | привести к общему знаменателю, учесть ОДЗ |
Что именно должно быть в записи решения
Вторую часть проверяет эксперт, и он оценивает не ответ, а ход решения. Полный балл ставят, когда по записи видно, почему каждый шаг верен. Практически это означает вот что. Первое: если ты раскладываешь на множители, напиши получившееся произведение целиком и отдельной строкой поясни: «произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю». Второе: если уравнение дробно-рациональное, обязательно выпиши ОДЗ перед решением (знаменатели не равны нулю) или в конце явно проверь корни. Без этого балл снимают, даже если ответ верный. Третье: если делаешь замену, введи её отдельной строкой: «пусть t = x², тогда t ≥ 0» — и не забудь вернуться к исходной переменной. Четвёртое: выпиши все корни в ответе. Потеря одного корня — это уже не 2 балла, а 1. Пятое: короткая проверка подстановкой не обязательна, но она почти ничего не стоит по времени и ловит арифметические ошибки. Типичные ошибки, из-за которых теряют балл при верной идее: сократили обе части на выражение с переменной (так теряется корень), забыли, что при замене t = x² корень t должен быть неотрицательным, не отбросили корень, обращающий знаменатель в ноль.
Ловушка: в дробно-рациональных уравнениях выколотые точки (знаменатель ≠ 0) исключают корни. Всегда проверяй ОДЗ и записывай все корни.
| Группировка | x³ + 4x² − x − 4 = x²(x + 4) − (x + 4) = (x + 4)(x² − 1). Ищи одинаковые скобки после вынесения |
|---|---|
| Разность квадратов | a² − b² = (a − b)(a + b); сразу даёт два множителя |
| Вынесение общего множителя | x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2). Корень x = 0 при этом не теряется |
| Замена (биквадратное) | x⁴ − 5x² + 4 = 0, пусть t = x² ≥ 0; решаем квадратное, затем возвращаемся к x |
| Дробно-рациональное | ОДЗ, затем умножение на общий знаменатель, затем проверка корней по ОДЗ |
| Системы | чаще всего одно уравнение раскладывается: x² − y² = (x − y)(x + y), и подставляется из второго |
| Чего делать нельзя | сокращать на выражение с переменной: из x² = 4x сокращением на x теряется корень x = 0 |
Оформление №20
• Приведи уравнение к стандартному виду.
• Разложи на множители или сделай замену.
• Найди все корни, отбрось не входящие в ОДЗ.
• Запиши обоснованный ответ.
Разбор примера
Разбор: биквадратное уравнение через замену
Решите уравнение x⁴ − 5x² + 4 = 0.
Показать решение по шагам
- 1. В уравнении есть только чётные степени x, значит удобна замена t = x². Отмечаем сразу: t ≥ 0.
- 2. После замены получаем квадратное уравнение: t² − 5t + 4 = 0.
- 3. Находим дискриминант: D = 25 − 16 = 9, √D = 3.
- 4. Корни: t₁ = (5 + 3)/2 = 4, t₂ = (5 − 3)/2 = 1. Оба неотрицательны, значит оба годятся.
- 5. Возвращаемся к переменной x. Из t = 4: x² = 4, значит x = ±2. Из t = 1: x² = 1, значит x = ±1.
- 6. Итого четыре корня. Ответ: −2; −1; 1; 2.
- 7. Проверка для x = 2: 16 − 5·4 + 4 = 16 − 20 + 4 = 0. Верно. Типичная потеря балла здесь — выписать только положительные корни, забыв про отрицательные.
Ответ: Ответ: −2; −1; 1; 2
Разбор примера
Разбор: дробное уравнение с посторонним корнем
Решите уравнение (x² − 9)/(x − 3) = 0.
Показать решение по шагам
- 1. Первым делом записываем ОДЗ: знаменатель не равен нулю, значит x ≠ 3.
- 2. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля.
- 3. Решаем x² − 9 = 0. По разности квадратов: (x − 3)(x + 3) = 0, откуда x = 3 или x = −3.
- 4. Сверяем с ОДЗ: корень x = 3 не подходит, он обращает знаменатель в ноль. Это посторонний корень.
- 5. Остаётся единственный корень: x = −3.
- 6. Ответ: −3. Если бы мы просто сократили дробь до x + 3 и решили x + 3 = 0, ответ вышел бы тот же, но без записи ОДЗ эксперт снимет балл: сокращение на (x − 3) законно только при x ≠ 3, и это надо оговорить.
Ответ: Ответ: −3
Разбор примера
Разбор: система уравнений
Решите систему уравнений: x − y = 2 и x² − y² = 20.
Показать решение по шагам
- 1. Смотрим на второе уравнение: x² − y² — это разность квадратов, она раскладывается на (x − y)(x + y).
- 2. Из первого уравнения известно, что x − y = 2. Подставляем: 2 · (x + y) = 20.
- 3. Отсюда x + y = 10.
- 4. Получилась простая система: x − y = 2 и x + y = 10. Складываем уравнения: 2x = 12, значит x = 6.
- 5. Подставляем в первое: 6 − y = 2, значит y = 4.
- 6. Ответ: (6; 4).
- 7. Проверка: 6 − 4 = 2 ✓; 36 − 16 = 20 ✓. Приём с разложением разности квадратов экономит здесь всё решение: подстановка «в лоб» привела бы к квадратному уравнению.
Ответ: Ответ: x = 6, y = 4
Разбор примера
Разбор №20: квадратное неравенство
Решите неравенство x² − 8x + 15 > 0.
Показать решение по шагам
- 1. Линия 20 — это не только уравнения: неравенства в ней встречаются регулярно, и решаются они иначе. Здесь нельзя «перенести и поделить»: знак неравенства при умножении на отрицательное число меняется, а главное — ответом будет не набор чисел, а множество.
- 2. Рабочий приём один и тот же для всех квадратных неравенств: найти корни соответствующего уравнения, отметить их на прямой и определить знак на каждом промежутке.
- 3. Шаг 1. Решаем уравнение x² − 8x + 15 = 0. По теореме Виета ищем два числа, сумма которых 8, а произведение 15: это 3 и 5. Значит корни x₁ = 3, x₂ = 5. (Через дискриминант: D = 64 − 60 = 4, √D = 2, x = (8 ± 2)/2, то есть 3 и 5 — тот же результат.)
- 4. Шаг 2. Разложим на множители, это делает знак очевидным: x² − 8x + 15 = (x − 3)(x − 5).
- 5. Шаг 3. Отмечаем 3 и 5 на числовой прямой. Они делят её на три промежутка: x < 3, 3 < x < 5, x > 5. Определяем знак произведения на каждом, подставив по одному удобному числу.
- 6. При x = 0: (0 − 3)(0 − 5) = (−3)(−5) = +15 > 0. При x = 4: (4 − 3)(4 − 5) = (1)(−1) = −1 < 0. При x = 6: (6 − 3)(6 − 5) = (3)(1) = +3 > 0. Знаки чередуются: плюс, минус, плюс.
- 7. Шаг 4. Нам нужно, где выражение больше нуля, то есть плюс. Это крайние промежутки: x < 3 и x > 5.
- 8. Ответ: x < 3 или x > 5, то есть x ∈ (−∞; 3) ∪ (5; +∞).
- 9. Проверка знаков без подстановок, если график привычнее: y = x² − 8x + 15 — парабола с ветвями вверх (коэффициент при x² положителен), она пересекает ось в точках 3 и 5. Выше оси парабола идёт по краям, ниже — между корнями. Отсюда тот же ответ. Правило короткое: ветви вверх — «больше нуля» снаружи, «меньше нуля» внутри; при ветвях вниз наоборот.
- 10. Два места, где теряют балл. Первое — строгость знака. Здесь неравенство строгое (>), поэтому точки 3 и 5 в ответ не входят, скобки круглые. Если бы стояло ≥, точки вошли бы, и скобки были бы квадратными. Второе — форма записи. Ответ «3 и 5» бессмыслен: спрашивали множество, а не корни. Записывают либо двойным неравенством, либо промежутками.
- 11. И родственный тип, который в банке линии 20 встречается не реже, — дробное неравенство вида (2x − 5)/(x + 3) ≤ 0. Приём тот же: отметить на прямой нули числителя (x = 2,5) и знаменателя (x = −3), расставить знаки по промежуткам. Разница одна, но важная: ноль знаменателя в ответ никогда не входит, даже при нестрогом знаке, потому что на ноль делить нельзя. Ответ здесь: −3 < x ≤ 2,5.
Ответ: x < 3 или x > 5
Вопрос на проверку
Почему нельзя решать уравнение x² = 4x, сократив обе части на x?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
При замене t = x² в биквадратном уравнении какое ограничение нужно записать?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №20 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №20 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №20 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №20 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.