Задание 6: вычисления с дробями и десятичными

Задание 6 почти всегда можно решить двумя путями — перевести всё в десятичные дроби или всё в обыкновенные. Пути равноправны по правильности, но не по скорости и не по риску ошибиться, и выбор между ними — главное умение этой линии.

Правило выбора одно: смотрите на знаменатели. Если все знаменатели — делители 10, 100, 1000 (то есть 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 50), выражение хорошо переводится в десятичные: 1/4 = 0,25, 7/8 = 0,875, 3/5 = 0,6, 1/16 = 0,0625. Если среди знаменателей есть 3, 6, 7, 9, 11, 12, десятичной записи не получится: 1/3 = 0,333… — бесконечная дробь, и любое округление испортит ответ. Значит считать надо в обыкновенных.

Пример, где видно оба случая. В выражении (0,25 + 7/8) · 8 знаменатели 4 и 8 — оба «десятичные», поэтому быстрее так: 0,25 + 0,875 = 1,125, и 1,125 · 8 = 9. А в выражении (7/12 − 1/4) : 5/6 знаменатель 12 десятичной записи не даёт, и путь один: привести к общему знаменателю 12, получить 7/12 − 3/12 = 4/12 = 1/3, затем 1/3 : 5/6 = 1/3 · 6/5 = 2/5 = 0,4.

Никогда не округляйте в середине. Это главная причина «почти верных» ответов. Если 1/3 по ходу решения заменить на 0,33, ошибка накопится и итог разойдётся с эталоном. В обыкновенных дробях округлять не приходится вовсе — в этом их преимущество, и поэтому при малейшем сомнении выбирают их.

Порядок действий не формальность, а определение значения выражения. Сначала считают то, что в скобках; затем степени и корни; затем умножение и деление слева направо; и только затем сложение и вычитание слева направо. Слова «слева направо» важны: 12 : 3 · 2 равно 8, а не 2, потому что деление и умножение равноправны и выполняются по порядку записи.

Отдельно про деление на дробь: оно всегда заменяется умножением на обратную. 1/3 : 5/6 = 1/3 · 6/5. Обратную дробь получают, поменяв числитель и знаменатель местами, а у целого числа обратная — единица, делённая на него: обратная к 8 равна 1/8. На этом же правиле решается «трёхэтажная» дробь вида 1 : (1/30 + 1/42): сначала складывают в скобке, потом переворачивают результат.

И последнее про форму ответа. В бланк ОГЭ ответ пишут без пробелов и без единиц, а десятичную дробь — через запятую: 0,4, а не 0.4 и не 2/5. Если в решении получилась обыкновенная дробь, её переводят в десятичную; если десятичная не получается (как у 1/3), значит где-то ошибка в счёте — задания линии 6 составляют так, чтобы ответ записывался конечной дробью или целым числом.