ОГЭ · Математика · Алгебра, часть 1 (№6–14)
Числа: делимость, НОД и НОК, округление и стандартный вид
Опорный урок ко всей первой части: признаки делимости, наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное, грамотное округление и запись числа в стандартном виде.
- ⚠Путают НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное)
- ⚠Проверяют делимость на 4 по последней цифре, а не по двум последним
- ⚠Округляют по цепочке: 4,46 → 4,5 → 5 вместо 4,5
- ⚠В стандартном виде оставляют мантиссу вне промежутка от 1 до 10
- ⚠Считают, что ноль не делится на числа (делится на любое, кроме нуля)
Какие бывают числа
Определение
Натуральные числа — числа, которыми считают предметы: 1, 2, 3, … Нуль натуральным не считается
Определение
Целые числа — натуральные, им противоположные и нуль: …, −2, −1, 0, 1, 2, … Целое число a делится на b, если существует целое c, при котором a = b · c
| На 2 | последняя цифра чётная: 0, 2, 4, 6, 8 |
|---|---|
| На 3 | сумма цифр делится на 3: 4 512 → 4+5+1+2 = 12 |
| На 4 | число из двух последних цифр делится на 4: 1 316 → 16 |
| На 5 | последняя цифра 0 или 5 |
| На 9 | сумма цифр делится на 9: 3 456 → 3+4+5+6 = 18 |
| На 10, 100 | оканчивается на один нуль, два нуля |
| На 25 | две последние цифры — 00, 25, 50 или 75 |
НОД и НОК
Определение
НОД (a; b) — наибольший общий делитель — самое большое число, на которое делятся оба. Нужен, чтобы сократить дробь до конца
Определение
НОК (a; b) — наименьшее общее кратное — самое маленькое число, которое делится на оба. Нужно, чтобы найти общий знаменатель и в задачах «через сколько снова совпадёт»
Разбор примера
НОД и НОК через разложение на простые множители
Найдите НОД (24; 36) и НОК (24; 36).
Показать решение по шагам
- 1. Раскладываем на простые множители: 24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 2³ · 3; 36 = 2 · 2 · 3 · 3 = 2² · 3².
- 2. НОД — общие простые множители в наименьших степенях: 2² · 3 = 4 · 3 = 12.
- 3. НОК — все встретившиеся множители в наибольших степенях: 2³ · 3² = 8 · 9 = 72.
- 4. Проверка: НОД · НОК = 12 · 72 = 864 и 24 · 36 = 864 — совпало, значит нигде не ошиблись.
Ответ: Ответ: НОД = 12, НОК = 72
Правило-контроль. Для любых двух натуральных чисел НОД · НОК = a · b. Это самая быстрая проверка: посчитал обе величины — перемножь и сравни с произведением исходных чисел.
Округление и прикидка
| Правило | смотрим на первую отбрасываемую цифру: если она 5 или больше — предыдущий разряд увеличиваем на 1, иначе оставляем |
|---|---|
| До десятых | 3,472 → 3,5 (отбрасываем 7, оно больше 5) |
| До целых | 4,46 → 4 (смотрим только на 4 после запятой, цепочку 4,46 → 4,5 → 5 строить нельзя) |
| Оценка корня | √50 лежит между √49 = 7 и √64 = 8, ближе к 7: √50 ≈ 7,07, округление до целых даёт 7 |
| Прикидка | перед точным счётом грубо оцените порядок: 19,7 · 4,1 ≈ 20 · 4 = 80; ответ 8 или 800 — сигнал об ошибке |
Стандартный вид числа
Определение
Стандартный вид — запись a · 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10, а n — целое. Число n называют порядком числа
Разбор примера
Переводим в стандартный вид и обратно
Запишите в стандартном виде числа 3 400 000 и 0,00072, а затем найдите значение выражения 0,00048 · 10⁵.
Показать решение по шагам
- 1. 3 400 000: переносим запятую влево к первой значащей цифре — 3,4. Сдвинули на 6 разрядов, значит 3,4 · 10⁶.
- 2. 0,00072: переносим запятую вправо — 7,2. Сдвинули на 4 разряда вправо, показатель отрицательный: 7,2 · 10⁻⁴.
- 3. 0,00048 · 10⁵ — умножение на 10⁵ переносит запятую на 5 разрядов вправо: 0,00048 → 48.
- 4. Проверка через стандартный вид: 0,00048 = 4,8 · 10⁻⁴, тогда 4,8 · 10⁻⁴ · 10⁵ = 4,8 · 10¹ = 48.
Ответ: Ответ: 3,4 · 10⁶; 7,2 · 10⁻⁴; 48
Зачем девятикласснику делимость, если её не спрашивают отдельным заданием
В обобщённом плане ОГЭ нет строки «признаки делимости» — и именно поэтому тему проходят мимо. А она работает как инструмент в четырёх разных местах работы. Первое: задание 6, где дробь нужно сократить, — сокращать без признаков делимости значит перебирать делители наугад. Второе: задание 14 про прогрессии, где спрашивают, является ли число членом последовательности: ответ сводится к вопросу «делится ли разность нацело». Третье: задание 19 про верные высказывания, куда регулярно ставят утверждения вида «если число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24» (это неверно: 12 делится и на 4, и на 6, а на 24 не делится). Четвёртое, самое частое, — задания 20–25 второй части, где ответ обязан быть целым, и проверка «делится ли» экономит минуты. Главное различие, которое надо держать в голове: признак делимости на составное число складывается из признаков делимости на его взаимно простые множители. На 6 — значит на 2 и на 3 одновременно; на 12 — на 4 и на 3; на 36 — на 4 и на 9. А вот «на 4 и на 6» в признак делимости на 24 не складывается, потому что 4 и 6 не взаимно просты: у них общий множитель 2, и он засчитывается дважды.
Разбор примера
Признак делимости на составное число
Какое из чисел 2196, 4518, 5724, 6840 делится на 36? Проверьте каждое и объясните, почему проверка именно такая.
Показать решение по шагам
- 1. Раскладываем 36 на взаимно простые множители: 36 = 4 · 9, причём НОД (4; 9) = 1. Значит, число делится на 36 тогда и только тогда, когда оно делится и на 4, и на 9. Раскладка 36 = 6 · 6 не годится: 6 и 6 не взаимно просты.
- 2. Признак делимости на 4 — по двум последним цифрам; признак делимости на 9 — по сумме цифр.
- 3. 2196: последние две цифры 96, 96 : 4 = 24 — на 4 делится. Сумма цифр 2 + 1 + 9 + 6 = 18, делится на 9. Значит, 2196 делится на 36.
- 4. 4518: последние две цифры 18, на 4 не делится — дальше можно не проверять. 5724: 24 : 4 = 6, сумма цифр 5 + 7 + 2 + 4 = 18 — тоже делится на 36. 6840: 40 : 4 = 10, сумма цифр 6 + 8 + 4 + 0 = 18 — и это делится на 36.
- 5. Проверка делением: 2196 : 36 = 61, 5724 : 36 = 159, 6840 : 36 = 190, а 4518 : 36 = 125,5 — не целое.
Ответ: Ответ: 2196, 5724 и 6840 делятся на 36; 4518 — нет
Разбор примера
НОК в бытовом сюжете: когда автобусы снова встретятся
С автостанции в 9:00 одновременно отправились автобусы двух маршрутов. Первый маршрут отправляется каждые 12 минут, второй — каждые 18 минут. В какое время они снова отправятся одновременно?
Показать решение по шагам
- 1. Одновременный отход происходит в моменты, кратные и 12, и 18. Ближайший такой момент — наименьшее общее кратное.
- 2. Раскладываем: 12 = 2² · 3, 18 = 2 · 3². НОК берёт каждый простой множитель в наибольшей степени: НОК = 2² · 3² = 4 · 9 = 36.
- 3. Значит, следующий совместный отход через 36 минут после 9:00, то есть в 9:36.
- 4. Контроль: 36 : 12 = 3 (первый успеет сделать три рейса), 36 : 18 = 2 (второй — два). Оба числа целые, значит момент действительно общий.
- 5. Частая ошибка — взять произведение 12 · 18 = 216 минут. Это тоже общее кратное, но не наименьшее: автобусы встретятся раньше.
Ответ: Ответ: в 9:36
Разбор примера
Округление там, где от него зависит ответ
а) Округлите 0,04961 до тысячных. б) В магазин привезли 1450 кг картофеля, его фасуют в мешки по 40 кг. Сколько мешков потребуется? в) Тетрадь стоит 37 рублей. Какое наибольшее число тетрадей можно купить на 500 рублей?
Показать решение по шагам
- 1. а) Тысячные — третий знак после запятой. В 0,04961 третий знак — цифра 9, следующая за ним цифра 6, она не меньше 5, поэтому 9 увеличиваем на единицу. Девятка переполняется: 0,049 + 0,001 = 0,050. Записываем 0,05 — ноль на конце значащим не является.
- 2. б) 1450 : 40 = 36,25. Мешков не бывает дробное число, а весь картофель должен поместиться, поэтому округляем вверх: 37 мешков (36 мешков вместили бы только 1440 кг).
- 3. в) 500 : 37 = 13,51… Купить можно только целое число тетрадей и не больше, чем позволяют деньги, поэтому округляем вниз: 13 тетрадей (13 · 37 = 481 руб., а 14 · 37 = 518 руб. — уже дороже 500).
- 4. Общее правило, ради которого этот разбор и нужен: в пункте «а» работает арифметическое округление по ближайшей цифре, а в пунктах «б» и «в» — округление по смыслу задачи, и направление его задаёт не цифра, а вопрос.
Ответ: Ответ: а) 0,05; б) 37; в) 13
Порядок действий с делимостью
• Нужно сократить дробь до конца — ищи НОД числителя и знаменателя.
• Нужен общий знаменатель или «через сколько снова совпадут» — ищи НОК.
• Разложи оба числа на простые множители: дальше НОД и НОК читаются с записи.
• Проверь ответ равенством НОД · НОК = a · b.
• Округляя, смотри только на одну цифру — первую отбрасываемую.
• В стандартном виде мантисса всегда от 1 до 10, иначе запись не стандартная.
Вопрос на проверку
Какое из чисел делится на 9?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №6 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №6 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.