Задание 9 ЕГЭ по профильной математике

1. 1. Угловой коэффициент прямой k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (5 − (−3))/(1 − (−3)) = 8/4 = 2.
2. 2. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.
3. 3. Значит f′(x₀) = 2.

Ответ: 2

1. 1. Параллельные прямые имеют равные угловые коэффициенты. У прямой y = 7x − 5 коэффициент равен 7, значит и у касательной он равен 7.
2. 2. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной — это и есть геометрический смысл производной. Получаем уравнение y′(x₀) = 7.
3. 3. Считаем производную: y′ = (x² + 3x − 2)′ = 2x + 3.
4. 4. Уравнение 2x₀ + 3 = 7 даёт 2x₀ = 4 и x₀ = 2.
5. 5. Проверка смысла: в точке x₀ = 2 значение функции равно 4 + 6 − 2 = 8, касательная имеет вид y = 7(x − 2) + 8 = 7x − 6 — действительно параллельна данной прямой и не совпадает с ней.
6. 6. Где теряют баллы. Приравнивают к 7 саму функцию, а не производную: решают x² + 3x − 2 = 7x − 5 и получают точки пересечения с прямой, а не точку касания. Запомни соответствие: наклон прямой ↔ производная, высота точки ↔ значение функции.

Ответ: 2

1. 1. Здесь прямая не просто параллельна касательной, а сама является касательной. Для параболы это значит, что прямая и парабола имеют ровно одну общую точку.
2. 2. Приравниваем: x² + ax + 5 = 4x − 11, то есть x² + (a − 4)x + 16 = 0.
3. 3. «Ровно одна общая точка» для квадратного уравнения означает дискриминант равен нулю: D = (a − 4)² − 4·1·16 = 0.
4. 4. (a − 4)² = 64, откуда a − 4 = 8 или a − 4 = −8, то есть a = 12 или a = −4.
5. 5. Просят положительное значение: a = 12.
6. 6. Где теряют баллы. Пишут D ≥ 0 или D > 0 — тогда прямая пересекает параболу в двух точках и касательной не является. И второе: находят оба корня, но забывают условие «положительное значение» и записывают в ответ −4. У задач с параметром почти всегда есть уточняющая фраза в конце условия, её нужно перечитать перед записью ответа.

Ответ: 12

1. 1. Разберём этот сюжет вторым способом — через систему. Касание в точке x₀ означает сразу два равенства: значения совпадают, f(x₀) = 3x₀ + 4, и наклоны совпадают, f′(x₀) = 3.
2. 2. Производная: f′(x) = 2a·x + 2. Из второго условия 2a·x₀ + 2 = 3, то есть 2a·x₀ = 1.
3. 3. Из первого условия: a·x₀² + 2x₀ + 3 = 3x₀ + 4, то есть a·x₀² − x₀ − 1 = 0.
4. 4. Из второго уравнения a·x₀ = 1/2, значит a·x₀² = (a·x₀)·x₀ = x₀/2. Подставляем в первое: x₀/2 − x₀ − 1 = 0, то есть −x₀/2 = 1 и x₀ = −2.
5. 5. Возвращаемся: 2a·(−2) = 1, откуда −4a = 1 и a = −0,25.
6. 6. Проверка: f(x) = −0,25x² + 2x + 3; f(−2) = −1 − 4 + 3 = −2, а прямая в точке −2 даёт 3·(−2) + 4 = −2 — совпало. f′(−2) = −0,5·(−2) + 2 = 3 — тоже совпало.
7. 7. Где теряют баллы. Способ через дискриминант здесь тоже работает, но система из двух условий универсальна: она годится и для параболы, и для кубической функции, и для логарифма, где никакого дискриминанта нет. Ошибка же обычно одна — пишут только условие равенства значений и забывают про равенство производных, а без него получается пересечение, а не касание.

Ответ: −0,25

1. 1. Точка максимума f — это точка, где f′ меняет знак с + на − (пересечение оси сверху вниз).
2. 2. На отрезке [−6; 11] таких пересечений по условию два.
3. 3. Значит точек максимума две.

Ответ: 2