ЕГЭ · Математика (профиль) · Стереометрия
Подобие тел и изменение параметров
Половина заданий 3 — про то, как меняется объём или площадь при масштабировании. Разберём степенные множители.
🎯 ЕГЭ профиль: этот урок закрывает задание(я) 3.
- ⚠Считают, что объём растёт во столько же, во сколько ребро
- ⚠Путают коэффициенты для площади (k²) и объёма (k³)
- ⚠Ошибаются в степени коэффициента подобия
- ⚠ФИПИ-2025: 20 % решили, что боковая поверхность конуса больше боковой поверхности цилиндра в 2 раза; около 10 % — что площадь сферы в 2–3 раза меньше полной поверхности цилиндра, ещё ~5 % — что они равны
Подобие тел и изменение параметров (задание 3)
| Длины | меняются в k раз |
|---|---|
| Площади | в k² раз |
| Объёмы | в k³ раз |
Если параметры меняют по-разному (радиус в одно число, высота в другое) — просто подставь множители в формулу. В V = πr²h радиус входит в квадрате, высота — в первой степени.
Разбор примера
Разное изменение радиуса и образующей
Во сколько раз уменьшится площадь боковой поверхности конуса, если радиус основания уменьшится в 5 раз, а образующая увеличится в 2 раза?
Показать решение по шагам
- 1. Sбок = πrl. Радиус стал r/5, образующая стала 2l.
- 2. Новая площадь: π·(r/5)·(2l) = πrl·(2/5).
- 3. Значит площадь стала 2/5 от прежней, то есть уменьшилась в 5/2 = 2,5 раза.
Ответ: 2,5
Вопрос на проверку
Все размеры куба увеличили в 2 раза. Во сколько раз вырос объём?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
| Куб | V = a³, S = 6a². Ребро входит в третьей и во второй степени |
|---|---|
| Прямоугольный параллелепипед | V = abc, S = 2(ab + bc + ac) |
| Призма | V = Sосн · h — высота в первой степени |
| Пирамида и конус | V = ⅓ · Sосн · h; для конуса V = ⅓·πr²h |
| Цилиндр | V = πr²h; Sбок = 2πrh; радиус в объёме — в квадрате, в боковой поверхности — в первой степени |
| Конус: боковая поверхность | Sбок = πrl, где образующая l = √(r² + h²) |
| Шар | V = (4/3)πR³, S = 4πR². Радиус в кубе и в квадрате |
Алгоритм задания 3 на изменение параметров
Задание никогда не требует находить сами r, h или a — спрашивают только во сколько раз изменилась величина. Поэтому работает короткая схема из трёх шагов. Шаг 1: выписать формулу нужной величины (объёма, боковой или полной поверхности). Шаг 2: подставить не числа, а множители: если радиус увеличили в 3 раза, вместо r пишем 3r; если высоту уменьшили в 2 раза, вместо h пишем h/2. Шаг 3: вынести исходную формулу за скобку и посмотреть на оставшийся числовой множитель — он и есть ответ. Если множитель получился меньше единицы, величина уменьшилась, и в ответ идёт число, обратное множителю: множитель 2/5 означает уменьшение в 5/2 = 2,5 раза. Отдельный подвид — подобие: когда ВСЕ линейные размеры меняются одинаково, в k раз, площади меняются в k², а объёмы в k³. Обратный ход тоже спрашивают: если объём вырос в 27 раз, то k = ∛27 = 3, а площади выросли в 9 раз.
Разбор примера
Сечение через середину высоты конуса
Объём конуса равен 24. Через середину его высоты параллельно основанию проведена плоскость. Найдите объём отсечённого от неё малого конуса.
Показать решение по шагам
- 1. Плоскость параллельна основанию, поэтому малый конус подобен исходному. Коэффициент подобия определяется отношением высот: k = ½.
- 2. При подобии объёмы относятся как куб коэффициента: Vмал = V · k³.
- 3. k³ = (½)³ = 1/8.
- 4. Vмал = 24 · 1/8 = 3.
- 5. Проверка через формулу: если у большого конуса радиус r и высота h, то у малого радиус r/2 и высота h/2, и Vмал = ⅓·π·(r/2)²·(h/2) = ⅓πr²h · (1/4)·(1/2) = V/8. Сошлось.
Ответ: Ответ: 3
Разбор примера
Обратный ход: от площади к объёму
Площадь поверхности шара увеличилась в 9 раз. Во сколько раз увеличился его объём?
Показать решение по шагам
- 1. S = 4πR². Площадь выросла в 9 раз, значит R² вырос в 9 раз.
- 2. Отсюда сам радиус вырос в √9 = 3 раза, то есть коэффициент подобия k = 3.
- 3. V = (4/3)πR³ — объём растёт как куб коэффициента: k³ = 3³ = 27.
- 4. Проверка числами: пусть R = 1, тогда S = 4π и V = 4π/3. При R = 3: S = 36π (в 9 раз больше) и V = 36π (в 27 раз больше). Сошлось.
Ответ: Ответ: в 27 раз
Разбор примера
Параметры меняются по-разному
Во сколько раз увеличится объём цилиндра, если радиус его основания увеличить в 3 раза, а высоту уменьшить в 3 раза?
Показать решение по шагам
- 1. Формула объёма: V = πr²h.
- 2. Подставляем множители: новый радиус 3r, новая высота h/3.
- 3. Vнов = π·(3r)²·(h/3) = π·9r²·h/3 = 3·πr²h.
- 4. Множитель равен 3, значит объём увеличился в 3 раза.
- 5. Смысл: радиус входит в квадрате, поэтому увеличение в 3 раза даёт множитель 9, а высота входит линейно и даёт 1/3. Итого 9/3 = 3.
Ответ: Ответ: в 3 раза
Держи в голове разницу между «во сколько раз изменилась величина» и «каким стал множитель». Если множитель 2/5, величина уменьшилась в 2,5 раза — в ответ идёт 2,5, а не 0,4. Перечитай вопрос: спрашивают «увеличится» или «уменьшится».
Вопрос на проверку
Объём пирамиды вырос в 64 раза за счёт подобного увеличения всех размеров. Во сколько раз выросла площадь её основания?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №3 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №3 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №3 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №3 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №3 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.