Задание 3 ЕГЭ по профильной математике

1. 1. Объём конуса V_к = (1/3)S·h, цилиндра V_ц = S·h при тех же S и h.
2. 2. Значит V_ц = 3·V_к.
3. 3. V_ц = 3·48 = 144.

Ответ: 144

1. 1. Считать сами радиус и высоту не нужно и невозможно — их в условии нет. Работаем с формулой в общем виде: V = πr²h.
2. 2. Записываем параметры второго цилиндра через первый: r₂ = r/2, h₂ = 3h.
3. 3. Подставляем: V₂ = π·(r/2)²·(3h) = π·(r²/4)·3h = (3/4)·πr²h = 0,75·V₁.
4. 4. Ключевой момент — радиус входит в формулу в квадрате, поэтому уменьшение радиуса вдвое уменьшает объём вчетверо, а не вдвое. Высота входит в первой степени, её утроение даёт множитель 3.
5. 5. V₂ = 0,75·102 = 76,5.
6. 6. Где теряют баллы. Считают «радиус вдвое меньше, высота втрое больше — значит объём больше в 3/2 раза» и получают 153. Множители от разных величин перемножаются с учётом степени: (1/2)² · 3 = 3/4. Тот же приём работает для шара (радиус в кубе: вдвое больший радиус даёт восьмикратный объём) и для любого подобия.

Ответ: 76,5

1. 1. Пять вершин — значит перед нами не призма и не параллелепипед. Разберёмся, что это за тело, глядя на список: A, B, A₁, B₁ — это целая грань ABB₁A₁, а точка C лежит вне её плоскости.
2. 2. Тело, у которого одна грань — многоугольник, а остальные вершины сходятся в одной точке, — это пирамида. Её основание ABB₁A₁, вершина C.
3. 3. Площадь основания: ABB₁A₁ — прямоугольник со сторонами AB = 6 и AA₁ = 7, значит S = 42.
4. 4. Высота пирамиды — расстояние от точки C до плоскости ABB₁A₁. Ребро BC перпендикулярно этой грани (в прямоугольном параллелепипеде смежные грани перпендикулярны, а BC ⟂ AB и BC ⟂ BB₁), поэтому высота равна BC = AD = 9.
5. 5. V = (1/3)·S·h = (1/3)·42·9 = 126.
6. 6. Проверка через объём всего параллелепипеда: он равен 6·9·7 = 378, а наша пирамида составляет ровно его треть — 126. Это не случайность: пирамида с основанием-гранью и вершиной в противоположной грани всегда даёт треть объёма.
7. 7. Где теряют баллы. Принимают за основание треугольник ABC и считают призму: (площадь ABC)·AA₁ = 27·7 = 189. Но точки C₁ среди вершин нет, значит тело не призма, и такой подсчёт даёт лишний кусок. Первое действие в таких заданиях — разобраться, какая фигура получилась, и только потом брать формулу.

Ответ: 126

1. 1. Жидкость не исчезает и не добавляется, значит объём остаётся тем же. Это и есть уравнение задачи: V₁ = V₂.
2. 2. Объём жидкости в цилиндре — площадь дна, умноженная на высоту столба: V = πr²·h.
3. 3. Первый сосуд: V₁ = πr²·25. Второй: диаметр в 5 раз больше, значит и радиус в 5 раз больше, то есть 5r. Тогда V₂ = π·(5r)²·h = π·25r²·h.
4. 4. Приравниваем: πr²·25 = π·25r²·h. Сокращаем на πr²: 25 = 25·h, откуда h = 1 см.
5. 5. Смысл результата: площадь дна выросла в 25 раз (радиус в квадрате), поэтому при том же объёме высота упала во столько же раз: 25 : 25 = 1.
6. 6. Где теряют баллы. Делят высоту на 5, рассуждая «диаметр в 5 раз больше — значит уровень в 5 раз ниже», и отвечают 5 см. Радиус входит в формулу объёма в квадрате, поэтому уровень падает в 5² = 25 раз. Вторая потеря — принимают за радиус сам диаметр: здесь это ничего не меняет, потому что отношение одинаковое, но в задачах с числовыми данными ошибка стоит ответа.

Ответ: 1

1. 1. S_бок = πrl. Радиус стал r/5, образующая стала 2l.
2. 2. Новая площадь: π·(r/5)·(2l) = πrl·(2/5).
3. 3. Значит площадь стала 2/5 от прежней, то есть уменьшилась в 5/2 = 2,5 раза.

Ответ: 2,5