ЕГЭ · Математика (профиль) · Часть 2: планиметрия (№18) и стереометрия (№15)
Как оценивают геометрию: доказать и вычислить
Геометрия второй части пугает, но она щедрая: даже без пункта «б» можно взять балл за грамотное доказательство.
🎯 ЕГЭ профиль, часть 2: задание 15 (стереометрия), 18 (планиметрия) — с доказательством и вычислением.
- ⚠Считают пункт «а» (доказать) необязательным — а это отдельный балл
- ⚠Делают чертёж без обоснований
- ⚠Ссылаются на «очевидно» вместо теоремы
| Пункт а | ДОКАЗАТЬ (равенство, параллельность, отношение отрезков) |
|---|---|
| Пункт б | ВЫЧИСЛИТЬ (угол, длину, радиус, площадь, объём) |
| №18 / №15 | планиметрия / стереометрия; по 3 балла каждое |
| 3 балла | оба пункта верны и обоснованы |
|---|---|
| 2 балла | верный б с опорой на а, ИЛИ верное а + не доведённый до числа б |
| 1 балл | верно только один пункт (а или б) |
Пункт «а» часто проще пункта «б» и приносит гарантированный балл. Чертёж — часть решения: равные отрезки — засечками, прямые углы — квадратиком, равные углы — дугами.
Инструменты доказательства (пункт а)
• Признаки подобия и равенства треугольников
• Теорема Фалеса и свойство средней линии
• Свойства касательных: отрезки из одной точки равны
• Вписанные и центральные углы, вписанный четырёхугольник
• Теоремы Менелая и Чевы (для отношений отрезков)
• Метод координат и векторный метод — когда синтетика не идёт
Разбор примера
Задание 15: разбор (часть 2)
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2, высота SO равна 6. а) Докажите, что диагональ BD основания перпендикулярна плоскости SAC. б) Найдите угол между боковой гранью SBC и плоскостью основания.
Показать решение по шагам
- 1. а) Диагонали квадрата перпендикулярны: BD ⟂ AC.
- 2. Высота SO ⟂ плоскости основания, поэтому SO ⟂ BD.
- 3. Значит, BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и SO плоскости SAC, следовательно, BD ⟂ (SAC).
- 4. б) Пусть M — середина BC.
- 5. Тогда OM = a/2 = 1 (O — центр основания, M — середина BC), а SM — апофема.
- 6. SO ⟂ основанию и OM ⟂ BC, поэтому угол SMO — линейный угол двугранного угла при ребре BC.
- 7. В прямоугольном треугольнике SOM: tg∠SMO = SO/OM = 6 : 1 = 6, значит искомый угол равен arctg 6.
Ответ: Ответ: arctg 6
Разбор примера
Задание 18: разбор (часть 2)
Задание 18. Четырёхугольник ABCD со сторонами BC = 3 и AB = CD = 5 вписан в окружность радиуса R = 7√3/3. Докажите, что прямые BC и AD параллельны. Найдите AD.
Показать решение по шагам
- 1. а) Так как AB = CD, равны и дуги, стягиваемые этими хордами.
- 2. Тогда равны вписанные углы ∠BCA и ∠CAD (опираются на равные дуги), то есть накрест лежащие углы при прямых BC, AD и секущей AC равны, значит BC ∥ AD.
- 3. Вписанная трапеция равнобокая.
- 4. б) Разместим трапецию симметрично относительно серединного перпендикуляра к основаниям и найдём радиус описанной окружности по координатам вершин: при данных BC = 3, AB = 5, R = 7√3/3 большее основание равно 8.
Ответ: Ответ: 8
Разбор примера
Задание 15: разбор
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2, высота SO равна 9. а) Докажите, что диагональ BD основания перпендикулярна плоскости SAC. б) Найдите угол между боковой гранью SBC и плоскостью основания.
Показать решение по шагам
- 1. а) Диагонали квадрата перпендикулярны: BD ⟂ AC.
- 2. Высота SO ⟂ плоскости основания, поэтому SO ⟂ BD.
- 3. Значит, BD перпендикулярна двум пересекающимся прямым AC и SO плоскости SAC, следовательно, BD ⟂ (SAC).
- 4. б) Пусть M — середина BC.
- 5. Тогда OM = a/2 = 1 (O — центр основания, M — середина BC), а SM — апофема.
- 6. SO ⟂ основанию и OM ⟂ BC, поэтому угол SMO — линейный угол двугранного угла при ребре BC.
- 7. В прямоугольном треугольнике SOM: tg∠SMO = SO/OM = 9 : 1 = 9, значит искомый угол равен arctg 9.
Ответ: Ответ: arctg 9
Разбор примера
Задание 18: разбор
Задание 18. Четырёхугольник ABCD со сторонами BC = 3 и AB = CD = 8 вписан в окружность радиуса R = 16√42/21. Докажите, что прямые BC и AD параллельны. Найдите AD.
Показать решение по шагам
- 1. а) Так как AB = CD, равны и дуги, стягиваемые этими хордами.
- 2. Тогда равны вписанные углы ∠BCA и ∠CAD (опираются на равные дуги), то есть накрест лежащие углы при прямых BC, AD и секущей AC равны, значит BC ∥ AD.
- 3. Вписанная трапеция равнобокая.
- 4. б) Разместим трапецию симметрично относительно серединного перпендикуляра к основаниям и найдём радиус описанной окружности по координатам вершин: при данных BC = 3, AB = 8, R = 16√42/21 большее основание равно 8.
Ответ: См. решение
Вопрос на проверку
Ты уверенно доказал пункт «а» в №18, но пункт «б» решить не смог. Максимальный балл?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос с развёрнутым ответом
Почему опытные репетиторы советуют в геометрии второй части всегда начинать с пункта «а», даже если кажется, что не решишь задачу целиком?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.