ЕГЭ · Математика (профиль) · Часть 2: экономика (№13), параметры (№19), теория чисел (№20)
Экономические задачи №13: вклады, кредиты, две схемы
№13 не про экономику, а про проценты и последовательности. Нужно построить модель и аккуратно посчитать. Разбираем две главные схемы кредита.
🎯 ЕГЭ профиль: задание 13 (экономика — с 2027 года это часть 1, краткий ответ), 19 (параметр), 20 (числа) — самая тяжёлая тройка работы.
- ⚠Путают схему дифференцированных и аннуитетных платежей
- ⚠Теряют проценты за последний период
- ⚠Составляют неверное уравнение баланса долга
Экономические задачи №13: две схемы
| Увеличить на p% | × (1 + p/100), ставка 20% → множитель 1,2 |
|---|---|
| Вклад со сложными % | S·(1 + r/100)ⁿ |
| После платежа X | новый долг = (старый долг)·(1 + r/100) − X |
Две схемы погашения
- • тело гасят равными частями S/n
- • проценты на остаток
- • платежи убывают
- • равные платежи X
- • X = S·qⁿ(q−1)/(qⁿ−1)
- • q = 1 + r/100
Универсальный приём №13 — погодовая таблица: «год — долг в начале — начислен процент — платёж — долг в конце». Заполнив её, почти механически получаешь уравнение.
Разбор примера
Пример: дифференцированная схема, разница платежей
Кредит 1400 тыс. руб. на 8 лет. Первые 4 года ставка 17%, вторые 4 года — 14%. Тело долга уменьшается равномерно. На сколько последняя выплата меньше выплаты третьего года?
Показать решение по шагам
- 1. Тело долга гасится равными частями: 1400/8 = 175 тыс. руб. в год.
- 2. Остаток на начало 3-го года = 1400 − 2·175 = 1050 тыс. руб. Проценты 3-го года = 1050·0,17 = 178,5. Платёж 3-го года = 175 + 178,5 = 353,5 тыс. руб.
- 3. Последний (8-й) год: остаток на начало = 175 тыс. руб. (осталась одна доля). Ставка вторых 4 лет 14%. Проценты = 175·0,14 = 24,5. Платёж = 175 + 24,5 = 199,5 тыс. руб.
- 4. Разница: 353,5 − 199,5 = 154 тыс. руб. = 154 000 рублей.
Ответ: 154 000 рублей
Разбор примера
Задание 13: разбор (часть 2)
Кредит 6 млн рублей взят на 3 года. По условию в конце каждого года банк начисляет 20% на оставшийся долг, после чего заёмщик гасит начисленные проценты и 2 000 000 рублей основного долга (долг убывает равными долями). Какую сумму (в рублях) заёмщик выплатит за весь срок?
Показать решение по шагам
- 1. Тело долга гасится равными долями: 6 000 000 : 3 = 2 000 000 руб. в год.
- 2. Год 1: долг 6 000 000, проценты 1 200 000, выплата 3 200 000 руб.
- 3. Год 2: долг 4 000 000, проценты 800 000, выплата 2 800 000 руб.
- 4. Год 3: долг 2 000 000, проценты 400 000, выплата 2 400 000 руб.
- 5. Итого: 8 400 000 руб.
Ответ: Ответ: 8400000
Разбор примера
Задание 13: аннуитет — какую сумму можно взять в кредит
Заёмщик готов выплачивать не более 720 000 рублей в год. Кредит под 20 процентов годовых гасится двумя одинаковыми ежегодными платежами: в конце каждого года на остаток долга начисляются проценты, после чего вносится платёж, и после второго платежа долг равен нулю. Какую наибольшую сумму (в рублях) можно взять в кредит?
Показать решение по шагам
- 1. Это аннуитетная схема — вторая из двух, разобранных в этом уроке: платёж фиксирован, а доля процентов в нём год от года падает. Долг здесь убывает неравномерно, поэтому таблица «минус равные доли» не работает.
- 2. Надёжнее всего идти от конца к началу: после последнего платежа долг равен нулю, и это единственное точно известное число.
- 3. Обозначим S — сумма кредита, X — ежегодный платёж. Коэффициент роста долга за год: 1 + 20/100 = 1,2.
- 4. Конец первого года: долг вырос до 1,2·S, после платежа остаток D₁ = 1,2·S − X.
- 5. Конец второго года: долг вырос до 1,2·D₁, после платежа остаток равен нулю: 1,2·D₁ − X = 0, откуда D₁ = X / 1,2.
- 6. Платёж наибольший из допустимых, X = 720 000, значит D₁ = 720 000 / 1,2 = 600 000 рублей.
- 7. Возвращаемся к первому году: 1,2·S − 720 000 = 600 000, то есть 1,2·S = 1 320 000 и S = 1 100 000 рублей.
- 8. Проверка прямым счётом. Год 1: долг 1 100 000 растёт до 1 320 000, платёж 720 000, остаток 600 000. Год 2: 600 000 растёт до 720 000, платёж 720 000, остаток 0. Сходится.
- 9. Видно и то, почему ответ — именно наибольшая сумма: размер кредита прямо пропорционален платежу, поэтому наибольшему допустимому платежу отвечает наибольший кредит.
- 10. Где теряют баллы. Считают, что два платежа по 720 000 покрывают кредит вместе с процентами «в среднем», и берут S = 2·720 000 / 1,2 = 1 200 000. Проценты за второй год начисляются на уже уменьшенный остаток, поэтому усреднение завышает ответ на сто тысяч. Вторая потеря — путают схемы: при дифференцированной схеме (равные доли основного долга) платежи разные, и решение «от конца к началу» там не нужно.
Ответ: 1 100 000 рублей
Разбор примера
Задание 13: разбор
Кредит 9 млн рублей взят на 2 года. По условию в конце каждого года банк начисляет 10% на оставшийся долг, после чего заёмщик гасит начисленные проценты и 4 500 000 рублей основного долга (долг убывает равными долями). Какую сумму (в рублях) заёмщик выплатит за весь срок?
Показать решение по шагам
- 1. Тело долга гасится равными долями: 9 000 000 : 2 = 4 500 000 руб. в год.
- 2. Год 1: долг 9 000 000, проценты 900 000, выплата 5 400 000 руб.
- 3. Год 2: долг 4 500 000, проценты 450 000, выплата 4 950 000 руб.
- 4. Итого: 10 350 000 руб.
Ответ: См. решение
Вопрос на проверку
Кредит гасится дифференцированными платежами. Как меняются годовые выплаты от года к году?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.