Задание 18 ЕГЭ по профильной математике

1. 1. Доказательство. Сравниваем треугольники ABD и ACB — обратите внимание на порядок букв, он задаёт соответствие вершин: A ↔ A, B ↔ C, D ↔ B.
2. 2. Первая пара углов: угол при вершине A общий для обоих треугольников, ведь точка D лежит на стороне AC, а значит луч AD совпадает с лучом AC.
3. 3. Вторая пара углов дана условием: ∠ABD = ∠ACB. В треугольнике ABD этот угол при вершине B, в треугольнике ACB — при вершине C, и по нашему соответствию B ↔ C они как раз должны быть равны.
4. 4. По признаку подобия «по двум углам» треугольники ABD и ACB подобны. Доказано.
5. 5. Вычисление. Из подобия следует пропорциональность соответственных сторон: AB/AC = AD/AB. Здесь AB и AC — стороны, лежащие против равных углов ∠ADB и ∠ABC, а AD и AB — против общего угла A.
6. 6. Подставляем: 6/9 = AD/6, откуда AD = 36/9 = 4.
7. 7. Точка D лежит на отрезке AC, поэтому CD = AC − AD = 9 − 4 = 5.
8. 8. Проверка осмысленности: AD = 4 меньше AC = 9 — точка действительно попала внутрь стороны, как и сказано в условии.
9. 9. Где теряют баллы. Составляют пропорцию «наугад», по внешнему виду букв: 6/9 = 9/AD. Соответствие вершин в подобии задаётся равными углами, а не порядком, в котором их удобно читать; проще всего выписать соответствие столбиком (A↔A, B↔C, D↔B) и только потом строить отношения. Вторая потеря — находят AD = 4 и записывают в ответ его, забыв, что спрашивали CD.

Ответ: Ответ: CD = 5

1. 1. Доказательство. Свойство биссектрисы треугольника: биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть BD : DC = AB : AC.
2. 2. Подставляем данные: AB : AC = 6 : 9 = 2 : 3. Доказано.
3. 3. Полезно понимать, откуда свойство берётся: если провести через C прямую, параллельную AD, до пересечения с продолжением AB в точке E, то треугольник ACE окажется равнобедренным (AE = AC), а по теореме Фалеса BD : DC = AB : AE = AB : AC.
4. 4. Вычисление. Сторона BC известна: BC = BD + DC = 6 + 9 = 15.
5. 5. Периметр 45, значит AB + AC = 45 − 15 = 30.
6. 6. Из доказанного отношения запишем AB = 2k и AC = 3k. Тогда 2k + 3k = 30, то есть 5k = 30 и k = 6.
7. 7. Отсюда AB = 12 (и AC = 18).
8. 8. Проверка неравенства треугольника: 12 + 15 = 27 > 18, 12 + 18 = 30 > 15 — треугольник с такими сторонами существует.
9. 9. Где теряют баллы. Записывают свойство «наоборот»: BD : DC = AC : AB. Отрезок BD прилежит к стороне AB, поэтому в пропорции они стоят по одну сторону. Проверить себя можно наглядно: биссектриса отсекает больший отрезок со стороны большей стороны, и здесь DC = 9 больше BD = 6, значит AC должна быть больше AB — так и вышло (18 против 12).

Ответ: Ответ: AB = 12

1. 1. Доказательство. Пусть окружность с центром O и радиусом r вписана в треугольник и касается катетов CA и CB в точках K и L, а гипотенузы — в точке M.
2. 2. Четырёхугольник CKOL — квадрат: углы при K и L прямые (радиус перпендикулярен касательной в точке касания), угол при C прямой по условию, а OK = OL = r. Значит CK = CL = r.
3. 3. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны. Поэтому AK = AM и BL = BM.
4. 4. Обозначим катеты a = BC и b = AC, гипотенузу c = AB. Тогда b = AC = AK + KC = AM + r и a = BC = BL + LC = BM + r.
5. 5. Складываем: a + b = (AM + BM) + 2r = c + 2r, потому что AM + BM = AB = c.
6. 6. Отсюда 2r = a + b − c, то есть r = (a + b − c)/2 — ровно то, что требовалось доказать.
7. 7. Вычисление. Гипотенуза по теореме Пифагора: c = √(25 + 144) = √169 = 13.
8. 8. r = (5 + 12 − 13)/2 = 4/2 = 2.
9. 9. Проверка через площадь: S = ½·5·12 = 30, полупериметр p = (5 + 12 + 13)/2 = 15, и r = S/p = 30/15 = 2 — совпало.
10. 10. Где теряют баллы. В пункте «а» подставляют числа вместо доказательства: «r = (5 + 12 − 13)/2 = 2, значит формула верна». Проверка на одном примере не является доказательством; нужен общий вывод через равные отрезки касательных. Вторая потеря — путают эту формулу с формулой для описанной окружности, где R = c/2 = 6,5.

Ответ: Ответ: r = 2

1. 1. а) Так как AB = CD, равны и дуги, стягиваемые этими хордами.
2. 2. Тогда равны вписанные углы ∠BCA и ∠CAD (опираются на равные дуги), то есть накрест лежащие углы при прямых BC, AD и секущей AC равны, значит BC ∥ AD.
3. 3. Вписанная трапеция равнобокая.
4. 4. б) Разместим трапецию симметрично относительно серединного перпендикуляра к основаниям и найдём радиус описанной окружности по координатам вершин: при данных BC = 3, AB = 5, R = 7√3/3 большее основание равно 8.

Ответ: См. решение

1. 1. а) Так как AB = CD, равны и дуги, стягиваемые этими хордами.
2. 2. Тогда равны вписанные углы ∠BCA и ∠CAD (опираются на равные дуги), то есть накрест лежащие углы при прямых BC, AD и секущей AC равны, значит BC ∥ AD.
3. 3. Вписанная трапеция равнобокая.
4. 4. б) Разместим трапецию симметрично относительно серединного перпендикуляра к основаниям и найдём радиус описанной окружности по координатам вершин: при данных BC = 3, AB = 5, R = 7√3/3 большее основание равно 8.

Ответ: Ответ: 8