ЕГЭ · Математика (профиль) · Часть 2: уравнения (№14) и неравенства (№16)
Тригонометрия №14: как свести к простейшему уравнению
90% уравнений №14 — тригонометрические. Ключ — превратить сложное выражение в произведение или квадратное уравнение относительно одной функции.
🎯 ЕГЭ профиль: этот урок закрывает задание(я) 14.
- ⚠Теряют корни при делении на cos x / sin x
- ⚠Ошибаются в формулах двойного угла при замене
- ⚠Не проверяют ОДЗ после введения tg x
Тригонометрия №14: свести к простейшему
| Двойной угол | sin2x = 2 sinx cosx; cos2x = 1 − 2sin²x = 2cos²x − 1 |
|---|---|
| Понижение степени | sin²x = (1 − cos2x)/2; cos²x = (1 + cos2x)/2 |
| Сумма в произведение | sinα + sinβ = 2 sin((α+β)/2) cos((α−β)/2) |
| Вспомогательный угол | a sinx + b cosx = √(a²+b²)·sin(x + φ) |
| Сведение к квадратному | замена t = cosx; проверяй |t| ≤ 1 |
|---|---|
| Разложение на множители | получить произведение = 0 |
| Однородное | делим на cos²x → a tg²x + b tgx + c = 0 |
Никогда не сокращай уравнение на sinx или cosx — теряются целые серии корней. Вместо деления переноси всё в одну часть и выноси множитель за скобку.
Разбор примера
Пример: сведение к квадратному
Решите 2sin²x − 3cosx − 3 = 0.
Показать решение по шагам
- 1. Заменяем sin²x = 1 − cos²x: 2(1 − cos²x) − 3cosx − 3 = 0.
- 2. Раскрываем: 2 − 2cos²x − 3cosx − 3 = 0, то есть −2cos²x − 3cosx − 1 = 0.
- 3. Умножаем на −1: 2cos²x + 3cosx + 1 = 0.
- 4. Замена t = cosx, |t| ≤ 1: 2t² + 3t + 1 = 0. Дискриминант 9 − 8 = 1, t = −1 или t = −1/2. Оба в [−1;1].
- 5. cosx = −1 ⟹ x = π + 2πk.
- 6. cosx = −1/2 ⟹ x = ±2π/3 + 2πk.
Ответ: x = π + 2πk; x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ ℤ
Разбор примера
Пример: разложение на множители
Решите уравнение sin 2x = sin x.
Показать решение по шагам
- 1. Переносим всё в левую часть: sin2x − sinx = 0.
- 2. Формула двойного угла: 2 sinx cosx − sinx = 0.
- 3. Выносим sinx: sinx(2cosx − 1) = 0.
- 4. sinx = 0 ⟹ x = πk. ИЛИ 2cosx − 1 = 0 ⟹ cosx = 1/2 ⟹ x = ±π/3 + 2πk.
- 5. Важно: НЕ сокращай на sinx — потеряешь серию x = πk.
Ответ: x = πk; x = ±π/3 + 2πk, k ∈ ℤ
Вопрос на проверку
В уравнении sinx·cosx = sinx корректный первый шаг:
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор примера
Задание 14 целиком: решение и отбор корней
а) Решите уравнение 2cos²x − cos x − 1 = 0. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−5π/2; 0].
Показать решение по шагам
- 1. а) Замена t = cos x с ограничением |t| ≤ 1. Уравнение принимает вид 2t² − t − 1 = 0.
- 2. D = (−1)² − 4·2·(−1) = 1 + 8 = 9, √D = 3. Корни: t = (1 + 3)/4 = 1 и t = (1 − 3)/4 = −1/2. Оба по модулю не больше 1 — годятся.
- 3. cos x = 1 даёт одну серию: x = 2πk, k ∈ Z. cos x = −1/2 даёт две серии: x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z. Это ответ пункта а.
- 4. б) Отрезок [−5π/2; 0] — это [−2,5π; 0]. Отбор ведём двойным неравенством по каждой серии.
- 5. Серия x = 2πk: −2,5π ≤ 2πk ≤ 0. Делим на 2π: −1,25 ≤ k ≤ 0. Целые k = −1 и k = 0, им отвечают x = −2π и x = 0.
- 6. Серия x = 2π/3 + 2πk: −2,5π ≤ 2π/3 + 2πk ≤ 0. Вычитаем 2π/3 и делим на 2π: −19/12 ≤ k ≤ −1/3, то есть −1,58 ≤ k ≤ −0,33. Целое k = −1, ему отвечает x = 2π/3 − 2π = −4π/3.
- 7. Серия x = −2π/3 + 2πk: −2,5π ≤ −2π/3 + 2πk ≤ 0. Прибавляем 2π/3 и делим на 2π: −11/12 ≤ k ≤ 1/3, то есть −0,92 ≤ k ≤ 0,33. Целое k = 0, ему отвечает x = −2π/3.
- 8. Собираем и упорядочиваем: −2π, −4π/3, −2π/3, 0. Все четыре числа лежат в отрезке, включая обе его границы.
Ответ: Ответ: а) x = 2πk, x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z; б) −2π; −4π/3; −2π/3; 0
Как выбрать метод за 30 секунд
Посмотри, какие аргументы стоят под функциями. Если аргумент один и тот же (везде x), но функции разные (и sin, и cos), пробуй свести к одной функции через sin²x + cos²x = 1 — работает, когда одна из функций входит только в чётной степени. Если аргументы разные (x и 2x, x и x/2), сначала выровняй их формулами двойного или половинного угла. Если все слагаемые имеют одинаковую суммарную степень по sin и cos (например, a·sin²x + b·sin x·cos x + c·cos²x = 0), это однородное уравнение — делим на cos²x и получаем квадратное относительно tg x; перед делением обязательно проверь, не является ли решением cos x = 0. Если в уравнении есть общий множитель, ничего сводить не надо — выноси его за скобку и приравнивай каждый множитель нулю. И главное правило безопасности: никогда не сокращай уравнение на sin x или cos x, только выноси за скобку — деление уничтожает целую серию корней.
| sin x = a, |a| ≤ 1 | x = (−1)ⁿ·arcsin a + πn. Частные случаи: sin x = 0 → x = πn; sin x = 1 → x = π/2 + 2πn; sin x = −1 → x = −π/2 + 2πn |
|---|---|
| cos x = a, |a| ≤ 1 | x = ±arccos a + 2πn — ОБЯЗАТЕЛЬНО две серии. Частные: cos x = 0 → x = π/2 + πn; cos x = 1 → x = 2πn; cos x = −1 → x = π + 2πn |
| tg x = a | x = arctg a + πn при любом a. ОДЗ: cos x ≠ 0 |
| |a| > 1 | уравнения sin x = a и cos x = a решений не имеют — это отдельный случай при отборе корней замены |
| Опорные значения | arcsin(1/2) = π/6, arcsin(√2/2) = π/4, arcsin(√3/2) = π/3; arccos(1/2) = π/3, arccos(−1/2) = 2π/3, arccos(√3/2) = π/6 |
Разбор примера
Сведение к квадратному: посторонний корень замены
Решите уравнение 2sin²x + 3cos x = 0.
Показать решение по шагам
- 1. Функции разные, но синус входит только в квадрате — заменяем sin²x = 1 − cos²x.
- 2. 2(1 − cos²x) + 3cos x = 0, то есть 2 − 2cos²x + 3cos x = 0.
- 3. Умножаем на −1 и приводим к стандартному виду: 2cos²x − 3cos x − 2 = 0.
- 4. Замена t = cos x с ограничением |t| ≤ 1: 2t² − 3t − 2 = 0. D = 9 + 16 = 25, √D = 5.
- 5. Корни: t = (3 + 5)/4 = 2 и t = (3 − 5)/4 = −1/2.
- 6. Отбор по ограничению: t = 2 не годится, потому что косинус не бывает больше 1. Это и есть посторонний корень замены — его надо не просто отбросить, а написать, ПОЧЕМУ он отбрасывается.
- 7. Остаётся cos x = −1/2, откуда x = ±arccos(−1/2) + 2πk = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z.
- 8. Проверка при x = 2π/3: sin x = √3/2, cos x = −1/2; 2·(3/4) + 3·(−1/2) = 1,5 − 1,5 = 0. Верно.
Ответ: Ответ: x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z
Разбор примера
Однородное уравнение: делим на cos²x
Решите уравнение 3sin²x − 4·sin x·cos x + cos²x = 0.
Показать решение по шагам
- 1. Каждое слагаемое имеет суммарную степень 2 по синусу и косинусу — уравнение однородное второй степени.
- 2. Перед делением на cos²x проверим, не даёт ли решений cos x = 0. Если cos x = 0, то sin²x = 1, и левая часть равна 3·1 − 0 + 0 = 3 ≠ 0. Значит cos x ≠ 0 на всех решениях, и делить можно.
- 3. Делим каждое слагаемое на cos²x: 3·(sin²x/cos²x) − 4·(sin x/cos x) + 1 = 0, то есть 3tg²x − 4tg x + 1 = 0.
- 4. Замена u = tg x (никаких ограничений — тангенс принимает любые значения): 3u² − 4u + 1 = 0. D = 16 − 12 = 4, √D = 2.
- 5. Корни: u = (4 + 2)/6 = 1 и u = (4 − 2)/6 = 1/3.
- 6. tg x = 1 даёт x = π/4 + πk. tg x = 1/3 даёт x = arctg(1/3) + πk.
- 7. Проверка при x = π/4: sin = cos = √2/2, тогда 3·(1/2) − 4·(1/2) + 1/2 = 1,5 − 2 + 0,5 = 0. Верно.
Ответ: Ответ: x = π/4 + πk; x = arctg(1/3) + πk, k ∈ Z
Проверка «не потерял ли серию»: если в исходном уравнении встречается tg x или ctg x, выпиши ОДЗ (cos x ≠ 0 или sin x ≠ 0) до преобразований и в конце вычеркни корни, которые в него не попадают. Если ты делил на выражение с sin x или cos x, вернись и проверь отдельно случай, когда это выражение равно нулю.
Задание №14 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №14 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.