Задание 14 ЕГЭ по профильной математике

1. 1. Записываем двойное неравенство: −4π ≤ π/2 + πk ≤ −5π/2.
2. 2. Вычитаем π/2 и делим на π: −4 − 1/2 ≤ k ≤ −5/2 − 1/2, то есть −4,5 ≤ k ≤ −3.
3. 3. Целые k в этом промежутке: k = −4 и k = −3.
4. 4. Подставляем: k = −4 → x = π/2 − 4π = −7π/2; k = −3 → x = π/2 − 3π = −5π/2.

Ответ: −7π/2 и −5π/2

1. 1. а) Слева двойной угол, справа одинарный — уравнение с разными аргументами решать нельзя. Раскрываем: sin 2x = 2·sin x·cos x.
2. 2. Получаем 2·sin x·cos x = √3·sin x. Переносим всё влево и выносим общий множитель: sin x·(2·cos x − √3) = 0.
3. 3. Произведение равно нулю, когда нулю равен хотя бы один множитель. Первая серия: sin x = 0, откуда x = πk, k ∈ Z. Вторая: cos x = √3/2, откуда x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z.
4. 4. б) Отрезок [−4π; −5π/2] — это [−4π; −2,5π]. Каждую серию проверяем отдельным двойным неравенством.
5. 5. Серия x = πk: −4π ≤ πk ≤ −2,5π, делим на π: −4 ≤ k ≤ −2,5. Целые k = −4 и k = −3, значит x = −4π и x = −3π.
6. 6. Серия x = π/6 + 2πk: −4π ≤ π/6 + 2πk ≤ −2,5π. Делим на π и вычитаем 1/6: −25/6 ≤ 2k ≤ −8/3, то есть −2,08 ≤ k ≤ −1,33. Целое k = −2, тогда x = π/6 − 4π = −23π/6.
7. 7. Серия x = −π/6 + 2πk: −4 ≤ −1/6 + 2k ≤ −2,5 даёт −1,92 ≤ k ≤ −1,17. Целых k в этом промежутке нет — серия не даёт корней на отрезке. Это нормальный исход, а не ошибка.
8. 8. Упорядочим: −4π; −23π/6 ≈ −3,83π; −3π.
9. 9. Где теряют баллы. Главная потеря — деление обеих частей на sin x. Так пропадает целая серия x = πk, и за пункт «а» ставят 0 баллов: решение неполное. Делить на выражение с переменной нельзя, пока не доказано, что оно не равно нулю; правильный ход — всегда вынести за скобку.

Ответ: Ответ: а) x = πk, x = ±π/6 + 2πk, k ∈ Z; б) −4π; −23π/6; −3π

1. 1. а) В уравнении две разные функции: cos 2x и cos x. Формула косинуса двойного угла имеет три записи, и выбирать надо ту, что оставит только косинус: cos 2x = 2·cos²x − 1.
2. 2. Подставляем: 2·cos²x − 1 − 3·cos x + 2 = 0, то есть 2·cos²x − 3·cos x + 1 = 0.
3. 3. Замена t = cos x при обязательном условии |t| ≤ 1. Квадратное уравнение 2t² − 3t + 1 = 0 имеет D = 9 − 8 = 1, корни t₁ = 1 и t₂ = 1/2. Оба по модулю не больше единицы — оба годятся.
4. 4. Возврат: cos x = 1 даёт x = 2πk, k ∈ Z; cos x = 1/2 даёт x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z.
5. 5. б) Отрезок [−2π; −π/2] = [−2π; −0,5π]. Серия x = 2πk: −2 ≤ 2k ≤ −0,5, то есть −1 ≤ k ≤ −0,25. Целое k = −1, x = −2π (левый конец отрезка входит — скобка квадратная).
6. 6. Серия x = π/3 + 2πk: −2 ≤ 1/3 + 2k ≤ −0,5 даёт −1,17 ≤ k ≤ −0,42. Целое k = −1, x = π/3 − 2π = −5π/3.
7. 7. Серия x = −π/3 + 2πk: −2 ≤ −1/3 + 2k ≤ −0,5 даёт −0,83 ≤ k ≤ −0,08. Целых k нет.
8. 8. На отрезке остаются −2π и −5π/3.
9. 9. Где теряют баллы. Берут «не ту» формулу двойного угла: подстановка cos 2x = 1 − 2·sin²x оставляет в уравнении и синус, и косинус, и оно не решается. Правило простое: смотри, какая функция стоит в остальных слагаемых, и приводи двойной угол к ней. Вторая потеря — забывают проверить |t| ≤ 1: если бы вышло t = 2, эта ветка корней не давала бы вовсе.

Ответ: Ответ: а) x = 2πk, x = ±π/3 + 2πk, k ∈ Z; б) −2π; −5π/3

1. 1. а) Замена t = cos x, причём |t| ≤ 1.
2. 2. Уравнение 4t² − 1 = 0 имеет корни t = 1/2 и t = −1/2.
3. 3. Возвращаемся к cos x и выписываем серии корней.
4. 4. Общее решение (пункт а): x = ±π/3 + 2πk, x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z (короче: x = ±π/3 + πk).
5. 5. б) Отбор: подставляем целые k в каждую серию и оставляем значения из отрезка [−3π; −3π/2].
6. 6. Подходят корни: −8π/3; −7π/3; −5π/3.

Ответ: Ответ: а) x = ±π/3 + 2πk, x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z (короче: x = ±π/3 + πk); б) −8π/3; −7π/3; −5π/3

1. 1. а) Замена t = cos x, причём |t| ≤ 1. Уравнение: 2t² + 3t + 1 = 0.
2. 2. D = 3² − 4·2·1 = 9 − 8 = 1, √D = 1. Корни: t₁ = (−3 + 1)/4 = −1/2, t₂ = (−3 − 1)/4 = −1. Оба по модулю не превосходят 1, значит оба дают решения.
3. 3. Возврат к переменной: cos x = −1/2 → x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z; cos x = −1 → x = π + 2πk, k ∈ Z. Это ответ пункта а.
4. 4. б) Отрезок [−7π/2; −2π] — это [−3,5π; −2π]. Отбор ведём двойным неравенством по каждой серии отдельно.
5. 5. Серия x = 2π/3 + 2πk: −3,5π ≤ 2π/3 + 2πk ≤ −2π. Вычитаем 2π/3: −25π/6 ≤ 2πk ≤ −8π/3. Делим на 2π: −25/12 ≤ k ≤ −4/3, то есть −2,08 ≤ k ≤ −1,33. Целое k = −2, тогда x = 2π/3 − 4π = −10π/3.
6. 6. Серия x = −2π/3 + 2πk: −3,5π ≤ −2π/3 + 2πk ≤ −2π. Прибавляем 2π/3: −17π/6 ≤ 2πk ≤ −4π/3. Делим на 2π: −17/12 ≤ k ≤ −2/3, то есть −1,42 ≤ k ≤ −0,67. Целое k = −1, тогда x = −2π/3 − 2π = −8π/3.
7. 7. Серия x = π + 2πk: −3,5π ≤ π + 2πk ≤ −2π. Вычитаем π: −4,5π ≤ 2πk ≤ −3π. Делим на 2π: −2,25 ≤ k ≤ −1,5. Целое k = −2, тогда x = π − 4π = −3π.
8. 8. Упорядочим найденное: −10π/3 ≈ −3,33π, затем −3π, затем −8π/3 ≈ −2,67π. Все три числа лежат внутри отрезка [−3,5π; −2π].

Ответ: Ответ: а) x = ±2π/3 + 2πk, x = π + 2πk, k ∈ Z; б) −10π/3; −3π; −8π/3