Как устроена часть 2 и за что снимают баллы

1. 1. а) Замена t = cos x, причём |t| ≤ 1.
2. 2. Уравнение 4t² − 1 = 0 имеет корни t = 1/2 и t = −1/2.
3. 3. Возвращаемся к cos x и выписываем серии корней.
4. 4. Общее решение (пункт а): x = ±π/3 + 2πk, x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z (короче: x = ±π/3 + πk).
5. 5. б) Отбор: подставляем целые k в каждую серию и оставляем значения из отрезка [−3π; −3π/2].
6. 6. Подходят корни: −8π/3; −7π/3; −5π/3.

Ответ: Ответ: а) x = ±π/3 + 2πk, x = ±2π/3 + 2πk, k ∈ Z (короче: x = ±π/3 + πk); б) −8π/3; −7π/3; −5π/3

1. 1. Пусть t = 2^x. Тогда t > 0, и каждому t > 0 отвечает ровно один x = log₂ t.
2. 2. Так как 4^x = (2^x)² = t², неравенство принимает вид t² − 3t + 2 ≥ 0.
3. 3. Корни квадратного трёхчлена: t₁ = 1, t₂ = 2.
4. 4. Разложение: (t − 1)(t − 2) ≥ 0.
5. 5. Метод интервалов по t с учётом t > 0 даёт 0 < t ≤ 1 или t ≥ 2.
6. 6. Возвращаемся к x: функция 2^x возрастает, поэтому из 2^x ≤ 1 получаем x ≤ 0, а из 2^x ≥ 2 получаем x ≥ 1.

Ответ: Ответ: (−∞; 0] ∪ [1; +∞)

1. 1. а) Замена t = cos x, причём |t| ≤ 1.
2. 2. Уравнение 2t² − 3t + 1 = 0 имеет корни t = 1/2 и t = 1.
3. 3. Возвращаемся к cos x и выписываем серии корней.
4. 4. Общее решение (пункт а): x = ±π/3 + 2πk, x = 2πk, k ∈ Z.
5. 5. б) Отбор: подставляем целые k в каждую серию и оставляем значения из отрезка [−3π; −π].
6. 6. Подходят корни: −7π/3; −2π; −5π/3.

Ответ: Ответ: а) x = ±π/3 + 2πk, x = 2πk, k ∈ Z; б) −7π/3; −2π; −5π/3

1. 1. Пусть t = 2^x. Тогда t > 0, и каждому t > 0 отвечает ровно один x = log₂ t.
2. 2. Так как 4^x = (2^x)² = t², неравенство принимает вид t² − 5t + 4 ≤ 0.
3. 3. Корни квадратного трёхчлена: t₁ = 1, t₂ = 4.
4. 4. Разложение: (t − 1)(t − 4) ≤ 0.
5. 5. Метод интервалов по t с учётом t > 0 даёт 1 ≤ t ≤ 4.
6. 6. Возвращаемся к x: функция 2^x возрастает, поэтому из 1 ≤ 2^x ≤ 4 следует 0 ≤ x ≤ 2.

Ответ: Ответ: [0; 2]