Чтение графиков функций

1. 1. Из точки (0; 3): c = 3.
2. 2. Из (1; 1): a + b + c = 1 → a + b = −2. Из (−1; 1): a − b + c = 1 → a − b = −2.
3. 3. Складываем: 2a = −4, a = −2; тогда b = 0. Функция y = −2x² + 3.
4. 4. f(−3) = −2·9 + 3 = −18 + 3 = −15.

Ответ: −15

1. 1. На экзамене эти две точки вы снимаете с рисунка сами: берут только те точки, где прямая проходит ровно через пересечение линий клетки, иначе координаты будут приблизительными и ответ не сойдётся.
2. 2. Угловой коэффициент — это «на сколько меняется y, когда x увеличивается на 1»: k = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁) = (−3 − 9)/(4 − (−2)) = −12/6 = −2. Отрицательный k означает убывающую прямую — на рисунке она действительно идёт вниз.
3. 3. Находим b подстановкой любой из точек: 9 = −2·(−2) + b, то есть 9 = 4 + b, b = 5. Функция: f(x) = −2x + 5.
4. 4. Теперь решаем то, о чём спрашивают: −2x + 5 = −15, откуда −2x = −20 и x = 10.
5. 5. Где теряют баллы. Отвечают «−15» или значение f, хотя спросили x. В задании 12 вопрос каждый раз разный: то ордината, то абсцисса, то значение функции в точке — прочитайте вопрос ещё раз перед записью ответа. Вторая типичная ошибка — считать k как (x₂ − x₁)/(y₂ − y₁), то есть перевернуть дробь.

Ответ: 10

1. 1. Вид формулы уже дан, неизвестен только k. Полезно понимать, откуда взялись остальные числа: знаменатель x + 1 обращается в ноль при x = −1 — это вертикальная асимптота; слагаемое +2 поднимает всю гиперболу, поэтому горизонтальная асимптота y = 2. На рисунке эти две прямые видны сразу, по ним и восстанавливают формулу.
2. 2. Подставляем данную точку: 5 = k/(1 + 1) + 2, то есть 5 = k/2 + 2. Отсюда k/2 = 3 и k = 6.
3. 3. Функция: f(x) = 6/(x + 1) + 2. Решаем f(x) = 0: 6/(x + 1) + 2 = 0, то есть 6/(x + 1) = −2.
4. 4. Умножаем обе части на (x + 1): 6 = −2·(x + 1), откуда x + 1 = −3 и x = −4.
5. 5. Проверка: f(−4) = 6/(−3) + 2 = −2 + 2 = 0 — верно.
6. 6. Где теряют баллы. Ищут точку, где график пересекает ось Ox, «на глаз» по картинке: гипербола подходит к оси полого, и ошибиться на единицу очень легко. Рисунок нужен только для того, чтобы снять одну точную точку и найти k, а дальше всё считается формулой.

Ответ: −4

1. 1. Неизвестных два — a и b, значит нужны две точки. Их и дают: одна почти всегда берётся при x = 0, потому что там корень обращается в ноль и коэффициент a исчезает.
2. 2. Точка (0; 2): f(0) = a·√0 + b = b, значит b = 2.
3. 3. Точка (9; 8): a·√9 + 2 = 8, то есть 3a = 6 и a = 2. Функция: f(x) = 2√x + 2.
4. 4. Считаем то, что просят: f(25) = 2·√25 + 2 = 2·5 + 2 = 12.
5. 5. Где теряют баллы. Считают √25 = 12,5 или путают √x с x/2. Корень — это не деление: √25 = 5, потому что 5² = 25. Точки для подстановки выбирают там, где под корнем стоит точный квадрат (0, 1, 4, 9, 16, 25): если взять x = 7, значение придётся округлять и ответ уплывёт.

Ответ: 12