Треугольники: углы, биссектриса, медиана, высота

1. 1. Углы при основании равны: угол A = угол C = (180° − 76°)/2 = 52°.
2. 2. AE — биссектриса угла A, значит угол EAC = 52°/2 = 26°.
3. 3. В треугольнике AEC: угол AEC = 180° − угол EAC − угол C = 180° − 26° − 52° = 102°.

Ответ: 102°

1. 1. Сначала третий угол: сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, поэтому ∠A = 90° − 28° = 62°.
2. 2. Разбираемся с высотой. В треугольнике ACH угол при H прямой (CH — высота к гипотенузе AB), угол при A равен 62°, значит ∠ACH = 90° − 62° = 28°. Любопытно, что он совпал с углом B — так бывает всегда: высота из прямого угла разбивает треугольник на два, подобных исходному.
3. 3. Разбираемся с медианой. Медиана, проведённая из прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы: CM = AM = BM. Это ключевой факт — точка M является центром описанной окружности, и все три отрезка суть её радиусы.
4. 4. Раз CM = AM, треугольник ACM равнобедренный, и углы при его основании AC равны: ∠ACM = ∠A = 62°.
5. 5. Оба луча CH и CM выходят из вершины C внутрь угла ACB, причём CH ближе к стороне CA... проверим: ∠ACH = 28°, ∠ACM = 62°, и оба меньше 90°. Значит искомый угол между ними равен разности: 62° − 28° = 34°.
6. 6. Где теряют баллы. Складывают углы вместо вычитания и получают 90°. Оба луча отсчитываются от одной стороны CA, поэтому угол между ними — разность. Быстрая проверка на здравый смысл: высота и медиана из одной вершины не могут расходиться на прямой угол, иначе одна из них вышла бы за пределы треугольника.

Ответ: 34

1. 1. Связь стороны и радиуса описанной окружности даёт теорема синусов: a / sin α = 2R, где α — угол, противолежащий стороне a.
2. 2. В правильном треугольнике все углы равны 60°, поэтому a = 2R·sin 60° = 2R·(√3/2) = R·√3.
3. 3. Подставляем: a = 8√3·√3 = 8·3 = 24.
4. 4. Проверка по другой формуле: радиус описанной около правильного треугольника равен R = a/√3. Тогда a = R√3 = 24 — то же самое.
5. 5. Ещё один способ увидеть ответ без формул: центр правильного треугольника делит медиану в отношении 2 : 1, поэтому R составляет ⅔ медианы, а медиана равна a√3/2. Отсюда R = (2/3)·(a√3/2) = a/√3 — та же связь.
6. 6. Где теряют баллы. Путают радиусы описанной и вписанной окружностей. Для правильного треугольника R = a/√3, а r = a/(2√3), то есть R вдвое больше r. Если по невнимательности взять формулу вписанной, ответ выйдет 48 вместо 24. Ориентир для самопроверки: описанная окружность проходит через вершины и потому больше, вписанная касается сторон и потому меньше.

Ответ: 24

1. 1. Высота, опущенная из прямого угла на гипотенузу, разбивает треугольник на два, подобных исходному и друг другу. Из этого подобия и вытекают три «формулы высоты», которые стоит знать наизусть.
2. 2. Нужная нам: высота есть среднее геометрическое отрезков, на которые она делит гипотенузу, то есть CH² = AH · BH.
3. 3. Откуда это берётся: треугольники ACH и CBH подобны (у обоих прямой угол при H, а ∠ACH = ∠CBH как углы с взаимно перпендикулярными сторонами). Из подобия AH/CH = CH/BH, что и даёт CH² = AH · BH.
4. 4. Подставляем: CH² = 9 · 16 = 144, откуда CH = 12.
5. 5. Проверка по теореме Пифагора: AC² = AH² + CH² = 81 + 144 = 225, значит AC = 15. BC² = 256 + 144 = 400, значит BC = 20. Гипотенуза AB = 9 + 16 = 25, и 15² + 20² = 225 + 400 = 625 = 25². Всё сходится — перед нами «египетский» треугольник, увеличенный в пять раз.
6. 6. Где теряют баллы. Складывают отрезки вместо умножения: CH = (9 + 16)/2 = 12,5. Совпадение с верным ответом почти полное, и ошибку не видно — а среднее арифметическое здесь ни при чём, работает именно геометрическое. Вторая потеря — путают три формулы между собой: CH² = AH·BH (высота), AC² = AH·AB (катет через прилежащий отрезок и всю гипотенузу), BC² = BH·AB. В формуле для катета второй множитель — вся гипотенуза, а не второй отрезок.

Ответ: 12