Логарифмические уравнения и роль ОДЗ

1. 1. ОДЗ: x − 2 > 0 и x + 4 > 0 одновременно. Первое условие строже, поэтому ОДЗ: x > 2.
2. 2. Сумма логарифмов с одинаковым основанием — логарифм произведения: log₂((x − 2)(x + 4)) = 4.
3. 3. По определению логарифма: (x − 2)(x + 4) = 2⁴ = 16.
4. 4. Раскрываем скобки: x² + 4x − 2x − 8 = 16, то есть x² + 2x − 24 = 0.
5. 5. D = 2² − 4·1·(−24) = 4 + 96 = 100, √D = 10. Корни: x₁ = (−2 + 10)/2 = 4, x₂ = (−2 − 10)/2 = −6.
6. 6. Отбор по ОДЗ: −6 < 2, корень посторонний. Подстановка это подтверждает: log₂(−8) не существует. Появился он именно из-за свёртки — произведение (−8)·(−2) = 16 положительно, хотя каждый множитель отрицателен.
7. 7. Остаётся x = 4. Проверка в исходном уравнении: log₂(4 − 2) + log₂(4 + 4) = log₂2 + log₂8 = 1 + 3 = 4 — верно.

Ответ: Ответ: 4

1. 1. ОДЗ: x − 5 > 0 и 2x > 0. Строже первое, поэтому x > 5.
2. 2. Единицу записываем как логарифм с тем же основанием: 1 = log₃3.
3. 3. Левая часть сворачивается: log₃3 + log₃(x − 5) = log₃(3(x − 5)) = log₃(3x − 15).
4. 4. Основания одинаковы, функция log₃ строго возрастает — приравниваем аргументы: 3x − 15 = 2x.
5. 5. x = 15. Проверка ОДЗ: 15 > 5 — годится.
6. 6. Прямая проверка: слева 1 + log₃10, справа log₃30 = log₃(3·10) = log₃3 + log₃10 = 1 + log₃10. Совпало.

Ответ: Ответ: 15

1. 1. ОДЗ: x > 0 (аргумент логарифма положителен). Никаких других ограничений нет.
2. 2. Замена t = log₃x. Уравнение становится обычным квадратным: t² − 4t + 3 = 0.
3. 3. По теореме Виета t₁ = 1, t₂ = 3 (сумма 4, произведение 3).
4. 4. Обратная замена — самый пропускаемый шаг. t = 1: log₃x = 1, значит x = 3¹ = 3. t = 3: log₃x = 3, значит x = 3³ = 27.
5. 5. Оба корня положительны, ОДЗ выполнено. Проверка для x = 3: (log₃3)² − 4·log₃3 + 3 = 1 − 4 + 3 = 0 — верно. Для x = 27: 3² − 4·3 + 3 = 9 − 12 + 3 = 0 — верно.
6. 6. Меньший из корней — 3.

Ответ: Ответ: 3

1. 1. Слева и справа логарифмы с одинаковым основанием. Функция log₂ строго возрастает, поэтому она принимает равные значения только у равных аргументов — но лишь там, где оба логарифма вообще определены.
2. 2. ОДЗ: x² + 5x > 0 и 3x + 8 > 0. Первое условие даёт x(x + 5) > 0, то есть x < −5 или x > 0; второе — x > −8/3 ≈ −2,67. Пересечение: x > 0.
3. 3. Переходим к аргументам: x² + 5x = 3x + 8, то есть x² + 2x − 8 = 0.
4. 4. По теореме Виета x₁ = 2, x₂ = −4 (сумма −2, произведение −8).
5. 5. Отбор по ОДЗ: −4 не удовлетворяет условию x > 0. Проверим прямо: при x = −4 аргумент первого логарифма равен 16 − 20 = −4, логарифма от отрицательного числа не существует. Корень посторонний.
6. 6. Остаётся x = 2. Проверка: слева log₂(4 + 10) = log₂14, справа log₂(6 + 8) = log₂14 — совпало.
7. 7. Где теряют баллы. Достаточно проверить только один из двух аргументов и решить, что корень годится. Здесь при x = −4 второй аргумент 3x + 8 = −4 тоже отрицателен, но в других задачах бывает, что один аргумент положителен, а второй нет. Надёжнее всего после решения подставить каждый найденный корень в оба логарифма исходного уравнения.

Ответ: 2