ЕГЭ · Математика (профиль) · Алгебра и вычисления
Логарифмы: определение и вычисление значений
Задание 8 почти всегда содержит логарифм. Разберём его смысл и все свойства, чтобы такие выражения ты считал в уме.
🎯 ЕГЭ профиль: этот урок закрывает задание(я) 8.
- ⚠Путают loga(bc)= loga b + loga c с логарифмом суммы
- ⚠Теряют основание при переходе к новому основанию
- ⚠Считают loga 1 ≠ 0 или loga a ≠ 1
- ⚠ФИПИ-2025: типовая ошибка — потеря логарифма при применении свойств: больше 3 % участников получили 32 вместо верного ответа, ещё больше 3 % вдобавок перепутали свойства степени и дали 11,4 и 160
Логарифмы: определение и свойства
Определение
Логарифм — loga b — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b: loga b = c ⟺ ac = b. Например, log₂ 8 = 3, ведь 2³ = 8.
| loga (xy) | логарифм произведения = сумма: loga x + loga y |
|---|---|
| loga (x/y) | логарифм частного = разность: loga x − loga y |
| loga (xk) | степень выносится множителем: k · loga x |
| alog_a b | основное логарифмическое тождество = b |
| logc b / logc a | переход к новому основанию = loga b |
| loga a = 1; loga 1 = 0 | опорные значения |
ОДЗ логарифма loga b: основание a > 0, a ≠ 1, аргумент b > 0. Это решает исход в заданиях 16 и 19.
Различай: loga b / loga c — это НЕ loga (b/c). Отношение логарифмов сворачивается через переход к новому основанию: loga b / loga c = logc b, а логарифм частного — это разность.
Разбор примера
Основное тождество в действии
Вычислите 2log₂ 3 + log₂ 2.
Показать решение по шагам
- 1. Сначала свернём показатель: log₂ 3 + log₂ 2 = log₂ (3·2) = log₂ 6 (логарифм произведения).
- 2. Получаем 2log₂ 6.
- 3. По основному тождеству alog_a b = b, значит 2log₂ 6 = 6.
Ответ: 6
Разбор примера
Разность логарифмов
Вычислите log0,2 100 − log0,2 4.
Показать решение по шагам
- 1. По свойству разности: log0,2 100 − log0,2 4 = log0,2 (100/4) = log0,2 25.
- 2. 0,2 = 1/5 = 5−1, а 25 = 5². Значит нужен показатель c: (5−1)c = 5², то есть −c = 2.
- 3. Отсюда c = −2.
Ответ: −2
| По основанию 2 | log₂2 = 1, log₂4 = 2, log₂8 = 3, log₂16 = 4, log₂32 = 5, log₂64 = 6, log₂128 = 7, log₂256 = 8, log₂512 = 9, log₂1024 = 10 |
|---|---|
| По основанию 3 | log₃3 = 1, log₃9 = 2, log₃27 = 3, log₃81 = 4, log₃243 = 5 |
| По основанию 5 | log₅5 = 1, log₅25 = 2, log₅125 = 3, log₅625 = 4; log₅0,2 = −1, log₅0,04 = −2 |
| Десятичный lg = log₁₀ | lg 10 = 1, lg 100 = 2, lg 1000 = 3, lg 0,1 = −1, lg 0,001 = −3 |
| Натуральный ln = loge | ln 1 = 0, ln e = 1, ln e³ = 3, ln (1/e) = −1 |
| Дробное основание | log1/a b = −loga b. Поэтому log0,58 = −3, log1/39 = −2 |
| loga (bk) = k·loga b | показатель из аргумента выносится множителем вперёд |
|---|---|
| loga^k b = (1/k)·loga b | показатель из основания уходит в знаменатель: log₉5 = ½·log₃5 |
| loga^n (bm) = (m/n)·loga b | общий случай — удобно для выражений вида log₄8 = (3/2)·log₂2 = 1,5 |
| ak·log_a b = bk | усиленное основное тождество: 9log₃5 = 32·log₃5 = 5² = 25 |
| loga b · logb c = loga c | цепочка: промежуточное основание сокращается |
| loga b = 1/logb a | частный случай перехода к новому основанию (при b ≠ 1) |
| 1 = loga a, 0 = loga 1 | приём «внесения единицы»: любое целое число можно записать логарифмом с нужным основанием |
ОДЗ логарифма — откуда берутся посторонние корни
Запись loga b осмысленна ровно при трёх условиях: a > 0, a ≠ 1, b > 0. В задании 8 это редко мешает, а в заданиях 16 и 19 решает исход. Главная тонкость — преобразования, меняющие ОДЗ. Формула loga(x²) = 2·loga x неверна: слева достаточно x ≠ 0, справа требуется x > 0. Корректная запись — loga(x²) = 2·loga|x|. Точно так же loga(xy) = loga x + loga y законна только при x > 0 и y > 0: при x < 0 и y < 0 левая часть определена, а правая — нет. Правило для экзамена: ОДЗ выписывается по ИСХОДНОМУ выражению, до всех преобразований, и найденный корень проверяется именно по нему.
Разбор примера
Подгоняем основания степени и логарифма
Найдите значение выражения 9log₃ 5 · 5−1.
Показать решение по шагам
- 1. Основание степени 9, основание логарифма 3. Приводим: 9 = 3², поэтому 9log₃5 = (3²)log₃5 = 32·log₃5.
- 2. Двойку вносим внутрь логарифма: 2·log₃5 = log₃(5²) = log₃25.
- 3. Работает основное тождество alog_a b = b: 3log₃25 = 25.
- 4. Остаётся 25 · 5−1 = 25 : 5 = 5.
- 5. Проверка численно: log₃5 ≈ 1,465; 91,465 ≈ 25,0; 25 : 5 = 5. Сошлось.
Ответ: Ответ: 5
Разбор примера
Цепочка логарифмов: среднее основание сокращается
Найдите значение выражения log₂ 6 · log₆ 8.
Показать решение по шагам
- 1. Переходим ко второму множителю в основании 2: log₆8 = log₂8 / log₂6.
- 2. Подставляем: log₂6 · (log₂8 / log₂6) = log₂8 — множитель log₂6 сокращается.
- 3. 8 = 2³, значит log₂8 = 3.
- 4. Общее правило, которое стоит запомнить и применять сразу: loga b · logb c = loga c.
Ответ: Ответ: 3
Разбор примера
Приём «единица — это логарифм»
Найдите значение выражения (1 − log₄ 36)(1 − log₉ 36).
Показать решение по шагам
- 1. В каждой скобке заменяем единицу логарифмом с тем же основанием: 1 = log₄4 в первой и 1 = log₉9 во второй.
- 2. Первая скобка: log₄4 − log₄36 = log₄(4/36) = log₄(1/9) = −log₄9.
- 3. Вторая скобка: log₉9 − log₉36 = log₉(9/36) = log₉(1/4) = −log₉4.
- 4. Перемножаем: (−log₄9) · (−log₉4) = log₄9 · log₉4.
- 5. По формуле loga b = 1/logb a это произведение равно 1.
- 6. Численная проверка: log₄36 ≈ 2,585, первая скобка ≈ −1,585; log₉36 ≈ 1,631, вторая ≈ −0,631; (−1,585)·(−0,631) ≈ 1,000. Сошлось.
- 7. Приём работает всегда, когда аргумент — произведение оснований: 36 = 4·9.
Ответ: Ответ: 1
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №8 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.