ЕГЭ 2027 · Математика (база)
Задание 20 ЕГЭ по базовой математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ЕГЭ: №20 (текстовая задача)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
- Сложность
- базовый; 15 минут по спецификации — одно из самых «долгих» заданий
Частые ловушки
- Среднюю скорость считают как среднее арифметическое скоростей — это верно только при равном времени, а не при равном пути
- При встречном движении складывают времена вместо скоростей
- В задачах по реке путают по течению (v + u) и против течения (v − u)
- Не переводят минуты в часы: 40 минут — это 2/3 часа, а не 0,4
- Отвечают на другой вопрос: находят время встречи, когда спрашивают расстояние
Совет. Всегда выписывай что известно и что ищем, а величины приводи к одним единицам. При встречном движении складывай скорости, при догоне — вычитай
Аналитика ЕГЭ: №20 (работа и производительность)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- одна из трёх основных форм задания 20
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Складывают времена вместо производительностей: 6 ч и 12 ч не дают 18 ч совместной работы
- Берут среднее арифметическое времён и получают заведомо больший результат, чем должно быть
- Забывают перевернуть дробь в конце: нашли производительность 1/4, а время равно 4, а не 1/4
- В задачах про бассейн не учитывают сливную трубу, которая работает со знаком минус
- Не переводят единицы: если один работает в часах, а второй в днях, надо привести к одному
Совет. Принимай всю работу за 1. Тогда производительность — это 1 : время, производительности складываются, а совместное время равно 1 : суммарная производительность
Аналитика ЕГЭ: №20 (смеси и сплавы)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- одна из трёх основных форм задания 20
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- Складывают проценты: 15 % и 40 % не дают 55 % и даже не дают 27,5 %, если объёмы разные
- Берут среднее арифметическое концентраций, забыв, что растворов взяли разное количество
- При испарении воды считают, что количество вещества изменилось — оно остаётся прежним
- При доливании воды забывают, что общая масса раствора выросла
- Отвечают в долях (0,3), когда просят проценты (30)
Совет. Составляй три числа для каждого раствора: масса раствора, концентрация, масса вещества (масса · концентрация). Складывать можно только первое и третье
Разборы
Разбор примера
Средняя скорость туда и обратно
Путешественник проехал путь на автомобиле со скоростью 54 км/ч, а обратно тем же путём — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость на протяжении всего пути.
Показать решение по шагам
- 1. Ошибочный ход: (54 + 90) : 2 = 72. Так считать нельзя, потому что на медленном участке путешественник провёл больше времени, и медленная скорость должна «весить» больше.
- 2. Правильно: средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Пусть путь в одну сторону равен S.
- 3. Время туда: S : 54. Время обратно: S : 90. Весь путь: 2S.
- 4. vср = 2S : (S : 54 + S : 90). Величина S сокращается — значит ответ от длины пути не зависит.
- 5. Приводим к общему знаменателю: 1 : 54 + 1 : 90 = (5 + 3) : 270 = 8 : 270. Тогда vср = 2 : (8 : 270) = 2 · 270 : 8 = 540 : 8 = 67,5.
- 6. По готовой формуле: 2 · 54 · 90 : (54 + 90) = 9720 : 144 = 67,5 км/ч. Ответ меньше среднего арифметического 72 — так и должно быть всегда.
Ответ: Ответ: 67,5
Разбор примера
Задание 20 из демоверсии: встреча на обратном пути
Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,5 км от дома. Один идёт со скоростью 4 км/ч, а другой — со скоростью 5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча?
Показать решение по шагам
- 1. Ключевая идея: к моменту встречи оба вместе прошли ровно два расстояния до опушки, то есть 2 · 4,5 = 9 км. Второй прошёл туда и часть обратно, первый — остаток.
- 2. Скорости складываются, потому что суммарный пройденный путь растёт со скоростью 4 + 5 = 9 км/ч.
- 3. Время до встречи: 9 : 9 = 1 час.
- 4. За этот час первый прошёл 4 · 1 = 4 км — это и есть расстояние от дома до места встречи.
- 5. Проверка вторым способом: второй дошёл до опушки за 4,5 : 5 = 0,9 часа, к этому моменту первый прошёл 4 · 0,9 = 3,6 км, между ними 0,9 км. Дальше они сближаются со скоростью 9 км/ч, то есть встретятся через 0,9 : 9 = 0,1 часа. Первый к этому моменту пройдёт 3,6 + 0,4 = 4 км ✓.
- 6. Ответ 1 (время) был бы ответом на другой вопрос — спрашивают именно расстояние.
Ответ: Ответ: 4
Разбор примера
Движение вдогонку и по реке
Велосипедист выехал со скоростью 15 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста? И отдельно: лодка со скоростью 12 км/ч проходит 70 км по течению и столько же против; скорость течения 2 км/ч. Сколько часов займёт весь путь?
Показать решение по шагам
- 1. Догон: к моменту выезда мотоциклиста велосипедист успел проехать 15 · 2 = 30 км — это отрыв.
- 2. Скорость сближения: 45 − 15 = 30 км/ч. Время догона: 30 : 30 = 1 час.
- 3. Проверка: за этот час мотоциклист проехал 45 км, велосипедист — 30 + 15 = 45 км ✓.
- 4. Река: по течению скорость 12 + 2 = 14 км/ч, время 70 : 14 = 5 часов.
- 5. Против течения скорость 12 − 2 = 10 км/ч, время 70 : 10 = 7 часов.
- 6. Всего 5 + 7 = 12 часов. Заметь: средняя скорость на всём пути равна 140 : 12 ≈ 11,67 км/ч — меньше собственной скорости лодки, хотя течение «помогало» ровно половину пути.
Ответ: Ответ: догонит через 1 час; весь путь по реке займёт 12 часов
Разбор примера
Встречное движение: складываем скорости
Из двух городов, расстояние между которыми 280 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся и на каком расстоянии от первого города произойдёт встреча?
Показать решение по шагам
- 1. При встречном движении расстояние между автомобилями сокращается на сумму их скоростей за каждый час. Эта сумма называется скоростью сближения.
- 2. Скорость сближения: 60 + 80 = 140 км/ч.
- 3. Время до встречи: 280 : 140 = 2 часа.
- 4. Расстояние от первого города — это путь первого автомобиля: 60 · 2 = 120 км.
- 5. Проверка: второй проехал 80 · 2 = 160 км, вместе 120 + 160 = 280 км — всё расстояние покрыто.
- 6. Где теряют баллы. Берут за скорость сближения разность 80 − 60 = 20 км/ч: разность нужна при движении вдогонку, когда один догоняет другого. Ориентир: при встречном движении скорости складываются, при движении в одну сторону — вычитаются. Вторая потеря — находят время 2 часа и записывают его в ответ на вопрос о расстоянии.
Ответ: через 2 часа, в 120 км от первого города
Разбор примера
Два насоса вместе
Первый насос наполняет бассейн за 6 часов, второй — за 12 часов. За сколько часов они наполнят бассейн, работая вместе?
Показать решение по шагам
- 1. Примем весь бассейн за 1.
- 2. Производительность первого насоса: 1/6 бассейна в час. Второго: 1/12 бассейна в час.
- 3. Работая вместе, они дают 1/6 + 1/12. Приводим к общему знаменателю 12: 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 бассейна в час.
- 4. Время: t = 1 : (1/4) = 4 часа.
- 5. Проверка здравым смыслом: вдвоём должно получиться быстрее, чем у самого быстрого поодиночке, то есть меньше 6 часов. Ответ 4 в это укладывается.
- 6. Ошибка «сложить времена» дала бы 18 часов, ошибка «среднее арифметическое» — 9 часов; оба результата больше 6 и потому заведомо невозможны.
Ответ: Ответ: 4
Уроки по этой линии
- Задачи на движение
- Задачи на совместную работу
- Сплавы, смеси и растворы
- Карта экзамена: 21 задание, справочные материалы и тайминг — открыт бесплатно
- Задания 19–21: числа, текстовая задача и смекалка
- Финальный чек-лист: ошибки, самопроверка и план на 3 часа
Потренируй задание 20
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.