Задание 19 ЕГЭ по базовой математике

1. 1. Разложим 32 на простые множители: 32 = 2⁵. Значит все цифры числа — только степени двойки и единицы: подходят цифры 1, 2, 4, 8 (ноль исключён — он обнулил бы произведение, цифры 3, 5, 6, 7, 9 внесли бы лишние простые множители).
2. 2. Число шестизначное, а «рабочих» цифр немного, поэтому недостающие места забиваем единицами: они не меняют произведение.
3. 3. Условие «больше 280000» проще всего выполнить, взяв первую цифру 2, а вторую — 8: любое число вида 28???? уже больше 280000.
4. 4. Цифры 2 и 8 дают произведение 16, значит на оставшиеся четыре места нужно произведение 32 : 16 = 2. Берём цифры 2, 1, 1, 1.
5. 5. Собираем: 281112. Произведение цифр: 2 · 8 · 1 · 1 · 1 · 2 = 32 ✓.
6. 6. Проверяем кратность 3 по сумме цифр: 2 + 8 + 1 + 1 + 1 + 2 = 15, а 15 делится на 3 ✓. Число больше 280000 ✓.
7. 7. Годится и любая перестановка последних цифр: 281121, 281211, 282111 — все они тоже верные ответы.

Ответ: Ответ: 281112 (подойдёт любое подходящее число)

1. 1. 24 = 8 · 3, причём 8 и 3 взаимно просты. Значит число должно делиться и на 8, и на 3.
2. 2. Раскладываем произведение цифр: 72 = 2³ · 3². Подходящие цифры — 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9.
3. 3. Первую цифру берём 2, чтобы выполнить «больше 200000». Оставшиеся цифры должны дать произведение 72 : 2 = 36.
4. 4. Возьмём набор 1, 1, 6, 3, 2: его произведение 1 · 1 · 6 · 3 · 2 = 36 ✓. Составляем число 211632.
5. 5. Проверяем делимость на 8: последние три цифры образуют 632, и 632 : 8 = 79 — делится ✓.
6. 6. Проверяем делимость на 3: сумма цифр 2 + 1 + 1 + 6 + 3 + 2 = 15, делится на 3 ✓.
7. 7. Оба условия выполнены, значит число делится и на 24. Ответ 211632; годятся также 212136, 213216, 216312 и другие.

Ответ: Ответ: 211632

1. 1. Если число даёт остаток 2 при делении на 4, 5 и 6, то число, уменьшенное на 2, делится сразу на 4, 5 и 6.
2. 2. Наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 6 равно 60. Значит искомое число имеет вид 60k + 2.
3. 3. Выписываем трёхзначные: 122, 182, 242, 302, 362, 422, 482, 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962.
4. 4. Отбираем те, у которых все цифры чётные: 242, 422, 482, 602, 662, 842.
5. 5. Берём любое, например 242. Проверка: 242 = 4 · 60 + 2, значит остаток 2 при делении на 4, 5 и 6 ✓, цифры 2, 4, 2 чётные ✓.
6. 6. Здесь ключевой шаг — переход к НОК: без него пришлось бы перебирать все 900 трёхзначных чисел.

Ответ: Ответ: 242

1. 1. Разбираем условие кратности. 15 = 3 · 5, множители взаимно просты, поэтому число обязано делиться и на 3, и на 5 одновременно.
2. 2. Делимость на 3 проверяется по сумме цифр. Сумма задана и равна 15, а 15 делится на 3 — значит это условие выполнено автоматически для любого подходящего числа. Одной проверкой меньше.
3. 3. Делимость на 5 означает, что последняя цифра — 0 или 5.
4. 4. Ищем наименьшее, поэтому старшие разряды делаем как можно меньше. Первая цифра не может быть нулём: берём 1. Вторую тоже хотим нулевой: пробуем вид 1 0 x y.
5. 5. Тогда 1 + 0 + x + y = 15, то есть x + y = 14. Проверяем варианты последней цифры. Если y = 0, то x = 14 — не цифра, не годится. Если y = 5, то x = 9 — годится.
6. 6. Получаем 1095. Проверяем: сумма цифр 1 + 0 + 9 + 5 = 15, и 1095 : 15 = 73 — обе проверки прошли.
7. 7. Осталось убедиться, что меньшего нет. Все четырёхзначные числа, меньшие 1095, начинаются на 10, то есть имеют вид 10xy с x ≤ 9 — мы перебрали обе возможные последние цифры и нашли единственный вариант. Значит 1095 — наименьшее.
8. 8. Где теряют баллы. Начинают подбор с кратности 15 и перебирают 1005, 1020, 1035… проверяя сумму цифр. Так можно потратить весь запас времени. Быстрее сначала зафиксировать структуру (первые цифры минимальны, последняя 0 или 5), а потом досчитать оставшиеся. Вторая потеря — забывают, что первая цифра четырёхзначного числа не равна нулю.

Ответ: 1095

1. 1. Если число даёт остаток 2 при делении на 4, 5 и 6, то число, уменьшенное на 2, делится на все три числа сразу.
2. 2. Наименьшее общее кратное чисел 4, 5 и 6 равно 60, значит искомое число имеет вид 60k + 2.
3. 3. Трёхзначные числа такого вида: 122, 182, 242, 302, 362, 422, 482, 542, 602, 662, 722, 782, 842, 902, 962.
4. 4. Отбираем те, у которых все цифры чётные: 242, 422, 482, 602, 662, 842.
5. 5. Берём любое, например 242. Проверка: 242 − 2 = 240, а 240 делится и на 4, и на 5, и на 6 ✓; цифры 2, 4, 2 чётные ✓.
6. 6. Без перехода к НОК пришлось бы перебирать все 900 трёхзначных чисел — приём «уменьшить на остаток» сокращает работу в шестьдесят раз.

Ответ: Ответ: 242 (подойдёт любое из 242, 422, 482, 602, 662, 842)