ЕГЭ 2027 · Математика (база)
Задание 21 ЕГЭ по базовой математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ЕГЭ: №21 (задача на смекалку)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте, последнее задание работы
- Сложность
- базовый по кодификатору, но 15 минут по спецификации — одно из самых затратных заданий
Частые ловушки
- В задаче про распил считают части вместо разрезов: на 5 частей нужно 4 разреза
- В задаче про улитку делят высоту на суточный прирост, забыв, что в последний день отката не будет
- В викторине не учитывают ограничение «по крайней мере один раз ошибся» и берут y = 0
- В задаче про возраст решают уравнение неверно, забыв, что разница возрастов постоянна
- В нумерации страниц считают все номера трёхзначными
Совет. Почти каждый сюжет задания 21 сводится к одному уравнению с одним неизвестным или к перебору по одному параметру. Главное — правильно выбрать, что обозначить за неизвестное
Аналитика ЕГЭ: №21 (рассуждение и оценка)
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте задание 21 — одно, но сюжет каждый раз новый
- Сложность
- базовый по кодификатору, самый непривычный по форме
Частые ловушки
- В задачах «наверняка» берут удачный случай вместо худшего
- В формуле «каждый с каждым» забывают делить на 2
- У окрашенного куба путают кубики с двумя и с тремя окрашенными гранями
- В задачах с двумя перекрывающимися группами не замечают, что перекрытие посчитано дважды
- В задачах на остатки перебирают все числа промежутка вместо чисел нужного вида
Совет. Три рабочих приёма: худший случай + 1 для гарантии, подсчёт одной величины двумя способами для уравнения и оценка сверху и снизу, когда обе оценки сходятся к одному числу
Разборы
Разбор примера
Монеты двух номиналов
В кошельке лежат монеты по 5 и по 10 рублей — всего 21 монета на сумму 170 рублей. Сколько в кошельке монет по 10 рублей?
Показать решение по шагам
- 1. Метод предположения: допустим, что все 21 монета по 5 рублей. Тогда сумма была бы 21 · 5 = 105 рублей.
- 2. Настоящая сумма больше: 170 − 105 = 65 рублей не хватает.
- 3. Замена одной пятирублёвой монеты на десятирублёвую увеличивает сумму на 10 − 5 = 5 рублей.
- 4. Чтобы добрать 65 рублей, нужно сделать 65 : 5 = 13 замен. Значит десятирублёвых монет 13.
- 5. Проверка: 13 · 10 + 8 · 5 = 130 + 40 = 170 ✓, а всего монет 13 + 8 = 21 ✓.
- 6. Тот же ответ даёт уравнение: если десятирублёвых x, то 10x + 5(21 − x) = 170, то есть 5x + 105 = 170 и x = 13.
Ответ: Ответ: 13
Разбор примера
Задание 21 из демоверсии: 33 вопроса, плюс 7 и минус 13
Список заданий викторины состоял из 33 вопросов. За каждый правильный ответ ученик получал 7 очков, за неправильный ответ с него списывали 13 очков, а при отсутствии ответа давали 0 очков. Сколько верных ответов дал ученик, набравший 56 очков, если известно, что по крайней мере один раз он ошибся?
Показать решение по шагам
- 1. Пусть x — число верных ответов, y — число ошибок. Тогда 7x − 13y = 56, причём y ≥ 1 (ошибся хотя бы раз) и x + y ≤ 33 (ответов не больше, чем вопросов).
- 2. Выразим x: x = (56 + 13y) : 7. Число 56 делится на 7, значит на 7 должно делиться и 13y.
- 3. Числа 13 и 7 взаимно просты, поэтому на 7 должно делиться само y. Наименьшее подходящее значение — y = 7.
- 4. При y = 7 получаем x = (56 + 91) : 7 = 147 : 7 = 21.
- 5. Проверяем ограничения: x + y = 21 + 7 = 28 ≤ 33 ✓, y = 7 ≥ 1 ✓. Ученик не ответил на 33 − 28 = 5 вопросов.
- 6. Следующее подходящее значение y = 14 дало бы x = (56 + 182) : 7 = 34, и всего ответов 48 — больше, чем вопросов. Значит решение единственно.
- 7. Заметь, зачем в условии слова «по крайней мере один раз ошибся»: без них подошло бы y = 0 и x = 8, и задача имела бы два ответа.
Ответ: Ответ: 21
Разбор примера
Распил, возраст и страницы за один заход
1) Чтобы распилить бревно на 5 частей, требуется 12 минут. Сколько минут нужно, чтобы распилить такое же бревно на 8 частей? 2) Сейчас отцу 36 лет, а сыну 8. Через сколько лет отец будет ровно в 3 раза старше сына? 3) В сборнике пронумерованы все страницы подряд, на нумерацию ушло 504 цифры. Сколько страниц в сборнике?
Показать решение по шагам
- 1. Распил. Чтобы получить 5 частей, нужно 5 − 1 = 4 разреза, значит один разрез занимает 12 : 4 = 3 минуты. На 8 частей нужно 7 разрезов: 7 · 3 = 21 минута.
- 2. Возраст. Разница возрастов не меняется: 36 − 8 = 28 лет. Пусть в нужный момент сыну x лет, тогда отцу 3x, и разница равна 3x − x = 2x = 28, откуда x = 14. Ждать нужно 14 − 8 = 6 лет.
- 3. Проверка возраста: через 6 лет отцу 42, сыну 14, и 42 = 3 · 14 ✓.
- 4. Страницы. Однозначных номеров 9 — это 9 цифр. Двузначных 90 — это 180 цифр. Вместе 189 цифр.
- 5. Остаётся 504 − 189 = 315 цифр на трёхзначные номера, по 3 цифры каждый: 315 : 3 = 105 страниц.
- 6. Трёхзначные начинаются со 100-й, значит последняя страница — 99 + 105 = 204. В сборнике 204 страницы.
Ответ: Ответ: 21 минута; через 6 лет; 204 страницы
Разбор примера
Улитка на столбе: последний день особенный
Гусеница ползёт вверх по шесту высотой 30 метров. За день она поднимается на 6 метров, а за ночь сползает вниз на 2 метра. На какой день гусеница доберётся до верхушки шеста?
Показать решение по шагам
- 1. За полные сутки высота растёт на 6 − 2 = 4 метра.
- 2. Наивное деление 30 : 4 = 7,5 неверно: в тот день, когда гусеница достигнет верхушки, ночного отката уже не будет.
- 3. Ищем момент, когда до цели останется не больше дневного подъёма, то есть не больше 6 метров.
- 4. После 6 полных суток набрано 4 · 6 = 24 метра, до верхушки остаётся 30 − 24 = 6 метров.
- 5. Шесть метров гусеница проходит ровно за один день, значит цель достигнута на 7-й день.
- 6. Проверка: к утру 7-го дня гусеница на высоте 24 м, за день поднимается на 6 м и оказывается на 30 м ✓.
Ответ: Ответ: 7
Разбор примера
«Наверняка»: считаем худший случай
В ящике лежат 12 красных, 10 синих и 9 зелёных шаров, других шаров нет. Какое наименьшее число шаров нужно вынуть из ящика не глядя, чтобы среди вынутых наверняка оказалось не меньше 4 шаров одного цвета?
Показать решение по шагам
- 1. Слово «наверняка» означает: результат должен гарантироваться при любом стечении обстоятельств, даже самом неудачном.
- 2. Самый неудачный расклад — когда каждого цвета вынуто по 3 шара, то есть на один меньше требуемых четырёх. Всего это 3 + 3 + 3 = 9 шаров, и четырёх одинаковых среди них ещё нет.
- 3. Такой расклад действительно возможен: каждого цвета в ящике не меньше трёх.
- 4. Значит 9 шаров может не хватить. Берём следующий, десятый: какого бы цвета он ни оказался, в этом цвете наберётся четвёртый шар.
- 5. Ответ 10.
- 6. Ошибка «взять 4» отвечает на вопрос «может ли случиться», а не «гарантированно ли». В задачах со словом «наверняка» удача не считается.
Ответ: Ответ: 10
Уроки по этой линии
- Задание 21: арифметические сюжеты
- Задание 21: оценка, принцип Дирихле и перебор
- Карта экзамена: 21 задание, справочные материалы и тайминг — открыт бесплатно
- Задания 19–21: числа, текстовая задача и смекалка
- Финальный чек-лист: ошибки, самопроверка и план на 3 часа
Потренируй задание 21
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.