ЕГЭ · Математика (база) · Текстовые задачи: движение, работа, сплавы
Задачи на движение
Скорость, время, путь — три величины и одна формула. Разбираем встречное движение, догонялки, движение по реке и среднюю скорость.
🎯 ЕГЭ база: урок закрывает задание 20 в его самой частой форме — текстовая задача на движение.
- ⚠Среднюю скорость считают как среднее арифметическое скоростей — это верно только при равном времени, а не при равном пути
- ⚠При встречном движении складывают времена вместо скоростей
- ⚠В задачах по реке путают по течению (v + u) и против течения (v − u)
- ⚠Не переводят минуты в часы: 40 минут — это 2/3 часа, а не 0,4
- ⚠Отвечают на другой вопрос: находят время встречи, когда спрашивают расстояние
Формулы движения
| Связь трёх величин | S = v · t, отсюда v = S : t и t = S : v |
|---|---|
| Встречное движение | скорости складываются: время до встречи = расстояние : (v₁ + v₂) |
| Движение вдогонку | скорости вычитаются: время догона = отрыв : (v₁ − v₂) |
| По течению реки | vсобств + vтечения |
| Против течения | vсобств − vтечения |
| Средняя скорость | весь путь, делённый на всё время. Это не среднее арифметическое скоростей |
| Туда и обратно с разными скоростями | vср = 2 · v₁ · v₂ : (v₁ + v₂) |
| Единицы | 1 м/с = 3,6 км/ч; 40 минут = 40 : 60 = 2/3 часа |
Разбор примера
Средняя скорость туда и обратно
Путешественник проехал путь на автомобиле со скоростью 54 км/ч, а обратно тем же путём — со скоростью 90 км/ч. Найдите среднюю скорость на протяжении всего пути.
Показать решение по шагам
- 1. Ошибочный ход: (54 + 90) : 2 = 72. Так считать нельзя, потому что на медленном участке путешественник провёл больше времени, и медленная скорость должна «весить» больше.
- 2. Правильно: средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Пусть путь в одну сторону равен S.
- 3. Время туда: S : 54. Время обратно: S : 90. Весь путь: 2S.
- 4. vср = 2S : (S : 54 + S : 90). Величина S сокращается — значит ответ от длины пути не зависит.
- 5. Приводим к общему знаменателю: 1 : 54 + 1 : 90 = (5 + 3) : 270 = 8 : 270. Тогда vср = 2 : (8 : 270) = 2 · 270 : 8 = 540 : 8 = 67,5.
- 6. По готовой формуле: 2 · 54 · 90 : (54 + 90) = 9720 : 144 = 67,5 км/ч. Ответ меньше среднего арифметического 72 — так и должно быть всегда.
Ответ: Ответ: 67,5
Разбор примера
Задание 20 из демоверсии: встреча на обратном пути
Два человека одновременно отправляются из одного дома на прогулку до опушки леса, находящейся в 4,5 км от дома. Один идёт со скоростью 4 км/ч, а другой — со скоростью 5 км/ч. Дойдя до опушки, второй с той же скоростью возвращается обратно. На каком расстоянии от дома произойдёт их встреча?
Показать решение по шагам
- 1. Ключевая идея: к моменту встречи оба вместе прошли ровно два расстояния до опушки, то есть 2 · 4,5 = 9 км. Второй прошёл туда и часть обратно, первый — остаток.
- 2. Скорости складываются, потому что суммарный пройденный путь растёт со скоростью 4 + 5 = 9 км/ч.
- 3. Время до встречи: 9 : 9 = 1 час.
- 4. За этот час первый прошёл 4 · 1 = 4 км — это и есть расстояние от дома до места встречи.
- 5. Проверка вторым способом: второй дошёл до опушки за 4,5 : 5 = 0,9 часа, к этому моменту первый прошёл 4 · 0,9 = 3,6 км, между ними 0,9 км. Дальше они сближаются со скоростью 9 км/ч, то есть встретятся через 0,9 : 9 = 0,1 часа. Первый к этому моменту пройдёт 3,6 + 0,4 = 4 км ✓.
- 6. Ответ 1 (время) был бы ответом на другой вопрос — спрашивают именно расстояние.
Ответ: Ответ: 4
Разбор примера
Движение вдогонку и по реке
Велосипедист выехал со скоростью 15 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста? И отдельно: лодка со скоростью 12 км/ч проходит 70 км по течению и столько же против; скорость течения 2 км/ч. Сколько часов займёт весь путь?
Показать решение по шагам
- 1. Догон: к моменту выезда мотоциклиста велосипедист успел проехать 15 · 2 = 30 км — это отрыв.
- 2. Скорость сближения: 45 − 15 = 30 км/ч. Время догона: 30 : 30 = 1 час.
- 3. Проверка: за этот час мотоциклист проехал 45 км, велосипедист — 30 + 15 = 45 км ✓.
- 4. Река: по течению скорость 12 + 2 = 14 км/ч, время 70 : 14 = 5 часов.
- 5. Против течения скорость 12 − 2 = 10 км/ч, время 70 : 10 = 7 часов.
- 6. Всего 5 + 7 = 12 часов. Заметь: средняя скорость на всём пути равна 140 : 12 ≈ 11,67 км/ч — меньше собственной скорости лодки, хотя течение «помогало» ровно половину пути.
Ответ: Ответ: догонит через 1 час; весь путь по реке займёт 12 часов
Разбор примера
Встречное движение: складываем скорости
Из двух городов, расстояние между которыми 280 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Через сколько часов они встретятся и на каком расстоянии от первого города произойдёт встреча?
Показать решение по шагам
- 1. При встречном движении расстояние между автомобилями сокращается на сумму их скоростей за каждый час. Эта сумма называется скоростью сближения.
- 2. Скорость сближения: 60 + 80 = 140 км/ч.
- 3. Время до встречи: 280 : 140 = 2 часа.
- 4. Расстояние от первого города — это путь первого автомобиля: 60 · 2 = 120 км.
- 5. Проверка: второй проехал 80 · 2 = 160 км, вместе 120 + 160 = 280 км — всё расстояние покрыто.
- 6. Где теряют баллы. Берут за скорость сближения разность 80 − 60 = 20 км/ч: разность нужна при движении вдогонку, когда один догоняет другого. Ориентир: при встречном движении скорости складываются, при движении в одну сторону — вычитаются. Вторая потеря — находят время 2 часа и записывают его в ответ на вопрос о расстоянии.
Ответ: через 2 часа, в 120 км от первого города
Средняя скорость всегда меньше среднего арифметического скоростей (если они разные), но больше меньшей из них. Получил число больше среднего арифметического — сверься; получил число больше большей скорости — точно ошибка.
Течение реки одинаково влияет на скорость в обе стороны, но не компенсируется: против течения тратится больше времени, чем экономится по течению. Поэтому поездка туда-обратно по реке всегда дольше, чем по стоячей воде.
Вопрос на проверку
Расстояние 60 км. Двое выехали навстречу друг другу со скоростями 20 и 40 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую половину — со скоростью 30 км/ч. Чему равна средняя скорость?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Скорость катера в стоячей воде 18 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Какова скорость катера против течения?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор экзаменационных заданий
Задание №20 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №20 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №20 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.