ЕГЭ · Математика (база) · Вероятность, статистика и логика
Считаем исходы: сложение, вычитание и правило умножения
Разбираем случаи, когда число исходов в условии прямо не названо: несколько групп, брак «в среднем k из n», два действия подряд.
🎯 ЕГЭ база: вторая половина задания 5 — задачи, где n или m надо сначала вычислить, а не прочитать.
- ⚠Складывают вероятности там, где надо складывать количества, и наоборот
- ⚠В опыте с двумя монетами берут 3 исхода («два орла», «две решки», «разные») вместо 4 — а три исхода не равновозможны
- ⚠«В среднем 8 из 400 бракованных» читают как 8 % вместо 2 %
- ⚠Забывают, что события «с капустой» и «с вишней» несовместны, и начинают перемножать вероятности
- ⚠Ищут вероятность брака, когда спрашивают про исправное изделие
Три правила подсчёта
| Сумма по группам | если объекты разбиты на непересекающиеся группы, общее число — сумма численностей групп. «6 из Норвегии, 5 из России, 9 из Испании» → всего 20 |
|---|---|
| Сложение вероятностей | для несовместных событий (не могут случиться одновременно) P(A или B) = P(A) + P(B). Пирожок не бывает одновременно с капустой и с вишней, поэтому вероятности складываются |
| Противоположное событие | P(не A) = 1 − P(A). Самый быстрый приём для слов «хотя бы», «не», «остальные», «исправное» |
| Правило умножения | если первое действие можно выполнить a способами, а второе — b способами независимо от первого, то пару действий — a · b способами. Два кубика: 6 · 6 = 36 |
| Частота вместо вероятности | фраза «в среднем k изделий из n бракованные» означает, что вероятность брака равна k : n. Это не проценты, пока их не посчитали |
Разбор примера
Несколько групп: складываем количества
На тарелке 24 пирожка: 6 с мясом, 10 с капустой и 8 с вишней. Юра наугад берёт один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется не с мясом.
Показать решение по шагам
- 1. Проверяем, что группы покрывают всё: 6 + 10 + 8 = 24 — сходится с условием, лишних пирожков нет.
- 2. n = 24 — столько пирожков может взять Юра.
- 3. Событие «не с мясом» объединяет две группы: капустные и вишнёвые. m = 10 + 8 = 18.
- 4. P = 18 : 24. Сокращаем на 6: 3 : 4 = 0,75.
- 5. Второй путь — через противоположное событие: P(с мясом) = 6 : 24 = 0,25, значит P(не с мясом) = 1 − 0,25 = 0,75. Ответы совпали.
- 6. Ошибка, которая тут случается чаще всего: перемножить вероятности 10 : 24 и 8 : 24. Перемножение относится к событиям, происходящим в двух разных опытах, а здесь опыт один — берётся один пирожок.
Ответ: Ответ: 0,75
Разбор примера
«В среднем k из n» — это доля, а не проценты
Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 400 имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефекта.
Показать решение по шагам
- 1. Вероятность дефекта — это доля бракованных: 8 : 400 = 0,02.
- 2. Спрашивают про противоположное событие — сумка без дефекта. P = 1 − 0,02 = 0,98.
- 3. Число 8 в условии — не проценты. Если прочитать его как 8 % и написать 1 − 0,08 = 0,92, ответ будет неверным.
- 4. Проверка прямым счётом: исправных сумок 400 − 8 = 392, и 392 : 400 = 0,98. Сошлось.
Ответ: Ответ: 0,98
Правило умножения: когда исходы — пары
Разбор примера
Две монеты: почему исходов четыре, а не три
В случайном опыте бросают две монеты. Найдите вероятность того, что выпадут ровно один орёл и одна решка.
Показать решение по шагам
- 1. У каждой монеты 2 исхода, монеты независимы, поэтому по правилу умножения всего исходов 2 · 2 = 4.
- 2. Выпишем их полностью: ОО, ОР, РО, РР. Все четыре равновозможны.
- 3. Событие «ровно один орёл и одна решка» — это два исхода: ОР и РО. Значит m = 2.
- 4. P = 2 : 4 = 0,5.
- 5. Почему нельзя считать «три исхода: два орла, две решки, разные»? Потому что «разные» встречается вдвое чаще каждого из остальных двух, а формула m : n требует именно равновозможных исходов. Ответ 1 : 3 ≈ 0,33 — самая известная ошибка в этой задаче.
Ответ: Ответ: 0,5
Разбор примера
Контроль качества: умножаем внутри ветвей, складываем между ними
Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Каждая батарейка проходит контроль. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99; вероятность того, что система по ошибке забракует исправную, равна 0,01. Найдите вероятность того, что изготовленная батарейка будет забракована.
Показать решение по шагам
- 1. Забракованной батарейка может стать двумя разными путями: она была неисправна и контроль это заметил, либо она была исправна, но контроль ошибся. Рисуем дерево из двух ветвей.
- 2. Ветвь первая: батарейка неисправна (вероятность 0,02) и забракована (0,99). Внутри одной ветви вероятности перемножаются: 0,02 · 0,99 = 0,0198.
- 3. Ветвь вторая: батарейка исправна. Её вероятность 1 − 0,02 = 0,98, и она забракована по ошибке с вероятностью 0,01. Перемножаем: 0,98 · 0,01 = 0,0098.
- 4. Ветви несовместны — батарейка не может быть одновременно исправной и неисправной, — поэтому их вероятности складываем.
- 5. P = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.
- 6. Проверка здравым смыслом: брака всего 2%, ложных срабатываний около 1% — итог должен быть чуть меньше 3%. Так и вышло.
- 7. Где теряют баллы. Учитывают только первую ветвь и отвечают 0,0198, забыв про ошибочную отбраковку исправных. Вторая типичная потеря — берут 0,02 · 0,99 + 0,02 · 0,01, то есть подставляют долю неисправных во вторую ветвь: там должна стоять доля исправных 0,98. Надёжный приём — выписать дерево полностью и проверить, что вероятности всех ветвей в сумме дают единицу.
Ответ: 0,0296
Складывать вероятности можно только у несовместных событий. «Пирожок с капустой» и «пирожок с вишней» несовместны — складываем. А вот «ученик занимается футболом» и «ученик занимается плаванием» совместны: один и тот же ученик может ходить в обе секции, и простое сложение даст больше единицы.
Если в вопросе есть слова «не», «хотя бы», «исправный», «остальные», почти всегда быстрее сосчитать вероятность обратного события и вычесть её из 1. Это экономит и время, и одну возможность ошибиться.
Вопрос на проверку
Сколько равновозможных исходов у опыта «бросить игральный кубик дважды»?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
В партии 250 ламп, в среднем 5 из них бракованные. Какова вероятность, что купленная лампа исправна?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
На тарелке 24 пирожка: 6 с мясом, 10 с капустой, 8 с вишней. Какова вероятность взять пирожок с капустой или с вишней?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №5 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №5 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №5 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.