Функция и её график: язык описания

1. 1. Нули: решаем x² − 8x + 12 = 0. По теореме Виета сумма корней 8, произведение 12 — это 2 и 6. График пересекает ось x в точках 2 и 6.
2. 2. Вершина: x₀ = −b : (2a) = 8 : 2 = 4. Значение: y(4) = 16 − 32 + 12 = −4. Вершина — точка (4; −4).
3. 3. Коэффициент при x² положителен, значит ветви вверх: функция убывает при x < 4 и возрастает при x > 4. Точка 4 — точка минимума, минимум функции равен −4.
4. 4. Знаки: между корнями (от 2 до 6) график ниже оси, значения отрицательны; вне корней — положительны.
5. 5. На отрезке [5; 7] вершина не лежит (4 < 5), значит функция там монотонно возрастает. Наименьшее значение достигается на левом конце: y(5) = 25 − 40 + 12 = −3.
6. 6. Заметь разницу: минимум функции равен −4 (в точке 4), а наименьшее значение на отрезке [5; 7] равно −3 — это разные числа.

Ответ: Ответ: нули 2 и 6; вершина (4; −4); убывает до 4, возрастает после; минимум −4; на [5; 7] наименьшее значение −3

1. 1. Нули функции — это значения x, при которых y = 0, то есть абсциссы точек пересечения графика с осью Ox. Решаем уравнение x² − 6x + 8 = 0.
2. 2. По теореме Виета корни 2 и 4 (сумма 6, произведение 8). Значит нули функции: x = 2 и x = 4.
3. 3. Промежутки знакопостоянства определяем по виду параболы. Старший коэффициент 1 положителен, значит ветви направлены вверх: между корнями график ниже оси, вне корней — выше.
4. 4. Отрицательные значения функция принимает при 2 < x < 4, то есть на интервале (2; 4).
5. 5. Проверка в одной точке каждого промежутка: y(3) = 9 − 18 + 8 = −1 (отрицательно, как и ожидалось), y(0) = 8 и y(5) = 3 (положительно).
6. 6. Где теряют баллы. Записывают в ответ значения функции вместо значений аргумента: «нули функции — 8», потому что y(0) = 8. Нули функции — это x, при которых y обращается в ноль, а не наоборот. Вторая потеря — путают знак: при ветвях вверх функция отрицательна между корнями, а при ветвях вниз — вне их.

Ответ: нули 2 и 4; отрицательные значения на (2; 4)

1. 1. Функция линейная, её график — прямая. Угловой коэффициент k = −3 отрицателен, значит функция убывает: чем больше x, тем меньше y.
2. 2. У монотонной функции наибольшее и наименьшее значения на отрезке достигаются только на концах. Внутренние точки проверять не нужно — это главное упрощение.
3. 3. Считаем на левом конце: y(3) = −3·3 + 12 = −9 + 12 = 3.
4. 4. Считаем на правом конце: y(5) = −3·5 + 12 = −15 + 12 = −3.
5. 5. Функция убывает, поэтому наибольшее значение на левом конце: 3. Наименьшее — на правом: −3.
6. 6. Заодно видно, что функция принимает на этом отрезке как положительные, так и отрицательные значения: она переходит через ноль при x = 4.
7. 7. Где теряют баллы. Решают, что «наибольшее значение всегда в правом конце», не посмотрев на знак k. Для убывающей функции всё наоборот. Вторая потеря — считают наибольшим значение по модулю: −9 «больше» тройки по величине, но как число −9 меньше.

Ответ: наибольшее 3, наименьшее −3; функция убывает

1. 1. Старший коэффициент −1 отрицателен, значит ветви параболы направлены вниз, и вершина — самая высокая точка графика. Именно там и максимум.
2. 2. Абсцисса вершины: x = −b/(2a) = −6/(2·(−1)) = −6/(−2) = 3.
3. 3. Точка максимума — это x = 3. Отвечая на вопрос «точка максимума», записывают именно абсциссу.
4. 4. Максимум функции (он же наибольшее значение) — это y в этой точке: y(3) = −9 + 18 − 5 = 4.
5. 5. Проверка соседними значениями: y(2) = −4 + 12 − 5 = 3 и y(4) = −16 + 24 − 5 = 3. Оба меньше четырёх — вершина найдена верно.
6. 6. Где теряют баллы. Дают на оба вопроса один и тот же ответ. Разница проста: «точка максимума» — это x, «максимум» и «наибольшее значение» — это y. Проверьте формулировку вопроса до записи в бланк: в задании 7 эти два вопроса встречаются одинаково часто.

Ответ: точка максимума x = 3; максимум равен 4