ЕГЭ · Математика (база) · Вероятность, статистика и логика
Классическое определение вероятности
Одна формула P = m : n закрывает почти всё задание 5 — весь вопрос в том, как безошибочно посчитать эти два числа.
🎯 ЕГЭ база: урок закрывает задание 5 — вероятность события в опыте с равновозможными исходами.
- ⚠Считают благоприятные исходы, а спрашивают про остальных: «25 спортсменок, 21 из России» — а нужен ответ про не из России, то есть про 4
- ⚠Ответ записывают обыкновенной дробью 7/50 вместо десятичной 0,14 — автоматическая проверка такой ответ не примет
- ⚠Теряют ноль перед запятой: пишут ,25 вместо 0,25
- ⚠Получают вероятность больше 1 (перепутали местами m и n) и всё равно записывают её в бланк
- ⚠Думают, что номер места («восьмым», «первым», «третьим») влияет на ответ, — не влияет
- ⚠ФИПИ-2025: ответы 0,6, 0,25 и 0,4 вместо верных получились из-за неверного перевода обыкновенной дроби в десятичную, а не из-за незнания вероятности
Опыт, исход, событие: три слова, на которых всё держится
| Случайный опыт | действие, результат которого заранее не известен: бросок кубика, жеребьёвка порядка выступлений, вызов такси, покупка лотерейного билета |
|---|---|
| Элементарный исход | один из возможных результатов опыта. Исходы не пересекаются (два сразу произойти не могут) и покрывают все случаи |
| Равновозможные исходы | исходы, ни у одного из которых нет преимущества: правильный кубик, честная жеребьёвка, случайный выбор одного человека из группы. Формула m : n работает только для таких исходов |
| Событие | то, про что спрашивают: «выпало чётное число», «доклад учёного из России», «приехала жёлтая машина». Это просто набор нескольких исходов |
| Благоприятный исход | исход, при котором интересующее нас событие произошло |
| Противоположное событие | «событие не произошло». Его вероятность считается как 1 − P(A), и это самый быстрый путь к ответу в задачах со словом «остальные» |
Определение
Классическая вероятность — если у опыта ровно n равновозможных исходов и ровно m из них благоприятны событию A, то P(A) = m : n. Вероятность любого события лежит от 0 (невозможное) до 1 (достоверное)
Как записать ответ, чтобы его засчитали
Задание 5 проверяется автоматически: ответ должен совпасть с эталоном символ в символ. Эталон в этой линии — всегда десятичная дробь. Значит обыкновенную дробь нужно обязательно разделить: 7/50 = 0,14; 3/8 = 0,375; 1/4 = 0,25. Разделительный знак — запятая, а не точка; ноль перед запятой обязателен. Если деление не заканчивается (например, 5/36 = 0,1388…), в условии всегда есть указание, до какого разряда округлять, — округляй ровно так, как сказано, и ни разрядом дальше. Пробелы, знак процента, слово «примерно» в бланк не пишутся. И последнее: ответ 0 или 1 в этой линии почти всегда означает ошибку в подсчёте — событие в задании 5 обычно и возможно, и не гарантировано.
Разбор примера
Разбор задания 5 из демоверсии ФИПИ
На семинар приехали 6 учёных из Норвегии, 5 из России и 9 из Испании. Каждый учёный подготовил один доклад. Порядок докладов определяется случайным образом. Найдите вероятность того, что восьмым окажется доклад учёного из России.
Показать решение по шагам
- 1. Считаем общее число докладов: 6 + 5 + 9 = 20. Каждый доклад может оказаться восьмым, и все они равноправны, потому что порядок определяется случайно. Значит n = 20.
- 2. Благоприятные исходы — доклады россиян, их 5. Значит m = 5.
- 3. P = 5 : 20 = 0,25.
- 4. Про слово «восьмым»: оно не меняет ничего. Жеребьёвка честная, поэтому вероятность попасть на восьмое место у всех докладов одинакова — ответ был бы тем же и для первого, и для двадцатого места. Это специально вставленная отвлекающая деталь.
- 5. Проверка: 0,25 лежит между 0 и 1, а 5 меньше 20 — обе проверки пройдены.
Ответ: Ответ: 0,25
Разбор примера
Ловушка со словом «остальные»
В фирме такси в наличии 15 легковых автомобилей: 9 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на боках, остальные — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Показать решение по шагам
- 1. n = 15 — столько машин может приехать, и все они равноправны.
- 2. Спрашивают про жёлтые машины, а в условии названо число чёрных. Считаем: 15 − 9 = 6 жёлтых. Значит m = 6.
- 3. P = 6 : 15 = 0,4.
- 4. Типичная ошибка — механически взять число из условия и написать 9 : 15 = 0,6. Это вероятность того, что приедет чёрная машина, то есть ответ на другой вопрос.
- 5. Второй способ, через противоположное событие: P(чёрная) = 9 : 15 = 0,6, значит P(жёлтая) = 1 − 0,6 = 0,4. Сошлось.
Ответ: Ответ: 0,4
Когда число исходов приходится считать самому
| Бросок монеты | 2 исхода: орёл, решка |
|---|---|
| Бросок двух монет | 4 исхода: ОО, ОР, РО, РР. Именно 4, а не 3: «орёл и решка» получается двумя разными способами |
| Бросок игрального кубика | 6 исходов: 1, 2, 3, 4, 5, 6 |
| Бросок двух кубиков (или одного дважды) | 36 исходов: 6 · 6, потому что каждому результату первого броска отвечают 6 результатов второго |
| Случайный выбор одного объекта из N | N исходов — это самая частая обёртка задания 5 |
| Жеребьёвка порядка среди N участников | на любое конкретное место претендуют все N участников, поэтому n = N |
Разбор примера
Два кубика: считаем исходы парами
Игральный кубик бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8. Результат округлите до сотых.
Показать решение по шагам
- 1. Исход опыта — это пара чисел (первый бросок; второй бросок). Всего таких пар 6 · 6 = 36, и все они равновозможны. Значит n = 36.
- 2. Выписываем все пары с суммой 8: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Их ровно 5, значит m = 5.
- 3. Пары (2; 6) и (6; 2) — разные исходы: в первом случае шестёрка выпала вторым броском, во втором — первым. Если считать их одним исходом, получится m = 3 и неверный ответ.
- 4. P = 5 : 36 = 0,1388…
- 5. Округляем до сотых, как просили: 0,14.
Ответ: Ответ: 0,14
Разбор примера
Вложенные события: срок службы прибора
Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0,97. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,89. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.
Показать решение по шагам
- 1. Обозначим события: A — «прослужит больше года», B — «прослужит больше двух лет». Если чайник проработал больше двух лет, то и больше года он проработал — значит событие B содержится в A.
- 2. Интересующее нас событие «больше года, но меньше двух» — это ровно та часть A, которая не вошла в B.
- 3. Для вложенных событий работает вычитание: P = P(A) − P(B).
- 4. P = 0,97 − 0,89 = 0,08.
- 5. Проверка: три исхода разбивают всё пространство — «сломался в первый год» (0,03), «проработал от года до двух» (0,08) и «проработал больше двух лет» (0,89). Сумма 0,03 + 0,08 + 0,89 = 1. Сходится.
- 6. Где теряют баллы. Перемножают вероятности: 0,97 · 0,89 ≈ 0,86. Умножение годится для независимых событий, а здесь одно вытекает из другого. Признак вложенности в таких задачах постоянный: обе вероятности описаны одним и тем же словом («прослужит больше»), различаются только сроки, и большему сроку отвечает меньшая вероятность.
Ответ: 0,08
Слово «остальные» в условии — сигнал, что нужное число не дано и его надо получить вычитанием. «25 спортсменок, 21 из России, остальные — нет»: остальных 25 − 21 = 4, и вероятность встретить не россиянку равна 4 : 25 = 0,16.
Вероятность обязана лежать в промежутке от 0 до 1. Если в черновике вышло 1,25 или 4, значит m и n стоят в дроби наоборот: делить надо благоприятные на все, а не наоборот.
Вопрос на проверку
В лотерее 20 билетов, из них 2 выигрышных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный билет окажется НЕвыигрышным.
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 из России и 9 из Китая. Порядок определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что первым будет выступать спортсмен НЕ из Китая?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Какое из чисел заведомо не может быть вероятностью события?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №5 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №5 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №5 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.