ЕГЭ · Математика (база) · Числа, вычисления и проценты
Дроби обыкновенные и десятичные: задание 14
Чистая арифметика без калькулятора: порядок действий, четыре операции с десятичными и обыкновенными дробями и переход между ними.
🎯 ЕГЭ база: урок закрывает задание 14 — вычислить значение числового выражения.
- ⚠Считают слева направо, игнорируя старшинство операций: в 5,5 · 6,4 − 7,5 · 3,9 сначала оба умножения
- ⚠В умножении десятичных отделяют неверное число знаков после запятой
- ⚠При сложении дробей складывают и числители, и знаменатели
- ⚠Деление на обыкновенную дробь заменяют умножением на ту же, а не на обратную
- ⚠Забывают привести дроби к общему знаменателю перед сложением и вычитанием
Порядок действий
| 1. Скобки | выполняются первыми; если скобок несколько, каждая считается отдельно |
|---|---|
| 2. Степени и корни | возведение в степень и извлечение корня старше умножения |
| 3. Умножение и деление | равноправны и выполняются слева направо. В 3,3 : 0,2 · 0,8 сначала деление, потом умножение |
| 4. Сложение и вычитание | тоже равноправны, слева направо |
| Типичный разбор | 5,9 · 5,1 − 1,6 : 0,4 — сначала оба действия третьего уровня (30,09 и 4), только потом вычитание |
| Сложение десятичных | запятая под запятой, недостающие разряды дополняются нулями |
|---|---|
| Умножение десятичных | перемножаем как целые, затем отделяем запятой столько знаков, сколько их у обоих множителей вместе: 5,5 · 6,4 = 3520 → 35,20 = 35,2 |
| Деление десятичных | умножаем делимое и делитель на 10, 100, … пока делитель не станет целым: 16,8 : 3,2 = 168 : 32 = 5,25 |
| Сложение обыкновенных | приводим к общему знаменателю, складываем только числители |
| Умножение обыкновенных | числитель на числитель, знаменатель на знаменатель, сокращаем до умножения — так проще |
| Деление обыкновенных | умножаем на перевёрнутую дробь: a/b : c/d = a/b · d/c |
| Перевод в десятичную | делим числитель на знаменатель: 1/8 = 0,125; 3/4 = 0,75; 7/20 = 0,35; 1/3 не переводится точно |
Перевод между десятичными и обыкновенными дробями
В задании 14 в одном выражении часто соседствуют десятичные и обыкновенные дроби, и решать удобнее, приведя всё к одному виду. Переход из обыкновенной дроби в десятичную — это просто деление числителя на знаменатель: 1/2 = 0,5; 1/4 = 0,25; 3/4 = 0,75; 1/5 = 0,2; 1/8 = 0,125; 3/8 = 0,375; 7/20 = 0,35; 9/25 = 0,36. Переход обратно: десятичную дробь записывают со знаменателем 10, 100 или 1000 и сокращают — 0,6 = 6/10 = 3/5; 0,24 = 24/100 = 6/25. Не все обыкновенные дроби переводятся точно: 1/3 = 0,333…, 1/7 = 0,142857… — если в выражении встретилась такая дробь, считать надо именно в обыкновенных, иначе появится погрешность. Практическое правило: если знаменатели в выражении — это 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, переводи всё в десятичные и считай запятыми; если появились 3, 6, 7, 9, 14 — оставайся в обыкновенных дробях и переводи в десятичную только окончательный ответ.
Разбор примера
Два умножения раньше вычитания
Найдите значение выражения 1,5 · 8,6 − 4,4 · 1,7.
Показать решение по шагам
- 1. Скобок нет, значит первыми идут оба умножения — и только потом вычитание.
- 2. 1,5 · 8,6: перемножаем 15 · 86 = 1290, у множителей вместе два знака после запятой, значит 12,90 = 12,9.
- 3. 4,4 · 1,7: перемножаем 44 · 17 = 748, два знака после запятой, значит 7,48.
- 4. Вычитаем: 12,9 − 7,48. Дополняем нулём: 12,90 − 7,48 = 5,42.
- 5. Ошибка «слева направо»: 1,5 · 8,6 = 12,9, затем 12,9 − 4,4 = 8,5, затем 8,5 · 1,7 = 14,45 — совершенно другой и неверный результат.
Ответ: Ответ: 5,42
Разбор примера
Скобки с обыкновенными дробями и деление
Найдите значение выражения (7/10 − 1/5) : 2/5.
Показать решение по шагам
- 1. Сначала скобка. Общий знаменатель 10: 1/5 = 2/10.
- 2. 7/10 − 2/10 = 5/10 = 1/2.
- 3. Теперь деление: 1/2 : 2/5. Заменяем на умножение на перевёрнутую дробь: 1/2 · 5/2 = 5/4.
- 4. Переводим в десятичную: 5 : 4 = 1,25.
- 5. Проверка десятичными: 0,7 − 0,2 = 0,5, затем 0,5 : 0,4 = 1,25 ✓.
Ответ: Ответ: 1,25
Разбор примера
Смешанное выражение: десятичная делится на обыкновенную
Найдите значение выражения 1,41 : 1/8 + 9.
Показать решение по шагам
- 1. Деление старше сложения, поэтому начинаем с него.
- 2. Деление на 1/8 — это умножение на перевёрнутую дробь 8/1, то есть просто умножение на 8.
- 3. 1,41 · 8 = 11,28 (141 · 8 = 1128, два знака после запятой).
- 4. Прибавляем девятку: 11,28 + 9 = 20,28.
- 5. Логика проверки: деление на дробь, меньшую единицы, всегда увеличивает число — и действительно, 11,28 больше 1,41.
Ответ: Ответ: 20,28
Разбор примера
Сокращение до умножения экономит половину работы
Найдите значение выражения (3/10 + 3/14) · 7/20.
Показать решение по шагам
- 1. Скобка: общий знаменатель для 10 и 14 равен 70. Получаем 3/10 = 21/70 и 3/14 = 15/70.
- 2. Складываем числители: 21/70 + 15/70 = 36/70 = 18/35 (сократили на 2).
- 3. Умножаем на 7/20: 18/35 · 7/20. Сокращаем до перемножения: 7 и 35 делятся на 7, остаётся 18/5 · 1/20; затем 18 и 20 делятся на 2, остаётся 9/5 · 1/10 = 9/50.
- 4. Переводим в десятичную: 9 : 50 = 0,18.
- 5. Если перемножить без сокращения, получится 126/700 — то же самое число, но сокращать четырёхзначные дроби заметно дольше и опаснее.
Ответ: Ответ: 0,18
Деление на число, меньшее единицы, увеличивает результат, а умножение на такое число — уменьшает. Это бесплатная проверка: если после деления на 0,4 число стало меньше, где-то ошибка.
Дроби сокращай до умножения, а не после. В произведении 27/5 · 4/9 удобно сначала сократить 27 и 9 на 9: остаётся 3/5 · 4/1 = 12/5 = 2,4. Иначе пришлось бы перемножать 108 и 45 и сокращать большие числа.
Вопрос на проверку
Найдите значение выражения 5,7 : 1,9 · 6,6.
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Чему равно 9/10 : 1/6 · 4/9?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Сколько знаков после запятой будет в произведении 2,45 · 3,1?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор экзаменационных заданий
Задание №14 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №14 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №14 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.