ЕГЭ · Математика (база) · Алгебра: выражения, уравнения, неравенства
Линейные и квадратные уравнения
Основа задания 17: линейное решается в два действия, квадратное — через дискриминант или теорему Виета, а в ответ идёт ровно тот корень, который просят.
🎯 ЕГЭ база: урок закрывает самую частую разновидность задания 17 — рациональные уравнения.
- ⚠При переносе слагаемого через знак равенства не меняют знак: из 3x + 6 = 0 получают 3x = 6 вместо 3x = −6
- ⚠Находят оба корня квадратного уравнения, а в ответ пишут меньший, когда просили больший
- ⚠В дискриминанте теряют минус: b² − 4ac при отрицательном b всё равно даёт b² > 0
- ⚠Делят на x обе части уравнения x² = 5x и теряют корень x = 0
- ⚠Дробно-рациональное уравнение решают, забыв, что знаменатель не может быть нулём
- ⚠ФИПИ-2025: больше 15 % записали наибольший корень вместо наименьшего. В показательном уравнении спотыкаются на отрицательном показателе степени, в линейном — на неравносильных преобразованиях
Линейное уравнение: два действия
| Вид уравнения | ax + b = c, где a ≠ 0 |
|---|---|
| Шаг 1 | переносим свободные слагаемые вправо, меняя знак: ax = c − b |
| Шаг 2 | делим обе части на коэффициент при x: x = (c − b) : a |
| Если a = 0 | уравнение либо не имеет корней (0 · x = 5), либо имеет бесконечно много (0 · x = 0). На базовом уровне такого не встречается |
| Дробно-рациональное | приводим к виду «дробь = 0»: числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю |
Разбор примера
Линейное уравнение с отрицательной правой частью
Найдите корень уравнения 6x + 6 = −6.
Показать решение по шагам
- 1. Переносим шестёрку вправо, меняя знак: 6x = −6 − 6.
- 2. Считаем правую часть: −6 − 6 = −12. Это самое частое место ошибки: минус на минус здесь не даёт плюс, потому что оба слагаемых отрицательные.
- 3. Делим на 6: x = −12 : 6 = −2.
- 4. Проверка: 6 · (−2) + 6 = −12 + 6 = −6. Совпало с правой частью исходного уравнения.
- 5. Ответ записывается со знаком минус и без пробела: −2.
Ответ: Ответ: −2
Разбор примера
Дробно-рациональное уравнение
Найдите корень уравнения (x + 3) : (x − 5) = 2.
Показать решение по шагам
- 1. Знаменатель не должен обращаться в ноль, поэтому сразу фиксируем ограничение: x ≠ 5.
- 2. Умножаем обе части на (x − 5): x + 3 = 2(x − 5).
- 3. Раскрываем скобку справа: x + 3 = 2x − 10.
- 4. Переносим: x − 2x = −10 − 3, то есть −x = −13, откуда x = 13.
- 5. Ограничение x ≠ 5 выполнено, значит корень годится. Проверка: (13 + 3) : (13 − 5) = 16 : 8 = 2 ✓.
- 6. Если бы получилось x = 5, этот корень пришлось бы отбросить — при нём знаменатель обращается в ноль и выражение не определено.
Ответ: Ответ: 13
Квадратное уравнение: дискриминант и Виет
| Общий вид | ax² + bx + c = 0. Сначала обязательно собрать всё в левую часть, чтобы справа остался ноль |
|---|---|
| Дискриминант | D = b² − 4ac. Если D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — корней нет |
| Формула корней | x = (−b ± √D) : (2a) |
| Теорема Виета (при a = 1) | x₁ + x₂ = −b, x₁ · x₂ = c. Для «красивых» коэффициентов корни подбираются устно за секунды |
| Неполные уравнения | x² = k → x = ±√k; ax² + bx = 0 → x(ax + b) = 0, корни x = 0 и x = −b : a |
Разбор примера
Квадратное уравнение: в ответ — больший корень
Решите уравнение x² − 17x = −72. Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите больший из них.
Показать решение по шагам
- 1. Переносим −72 влево, меняя знак: x² − 17x + 72 = 0. Пока справа стояло число, ни теорему Виета, ни дискриминант применять нельзя — обе они работают только для уравнения с нулём в правой части.
- 2. Коэффициент при x² равен 1, поэтому пробуем теорему Виета: сумма корней равна 17, произведение равно 72.
- 3. Раскладываем 72 на пары множителей: 1 и 72, 2 и 36, 3 и 24, 4 и 18, 6 и 12, 8 и 9. Сумму 17 даёт последняя пара.
- 4. Значит корни равны 8 и 9. Больший из них — 9.
- 5. Проверка через дискриминант: D = (−17)² − 4 · 1 · 72 = 289 − 288 = 1, √D = 1, корни (17 ± 1) : 2 = 9 и 8. Совпало.
- 6. Подстановка: 9² − 17 · 9 = 81 − 153 = −72 ✓.
Ответ: Ответ: 9
Разбор примера
Неполное квадратное: не потерять нулевой корень
Решите уравнение x² = 5x. Если корней несколько, в ответе укажите больший.
Показать решение по шагам
- 1. Переносим всё влево: x² − 5x = 0.
- 2. Выносим x за скобку: x(x − 5) = 0.
- 3. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или x − 5 = 0, то есть x = 5.
- 4. Больший корень — 5.
- 5. Что нельзя делать: сокращать исходное уравнение на x. Деление на x законно только при x ≠ 0, и корень x = 0 при этом теряется.
Ответ: Ответ: 5
Читай последнюю строку условия. «В ответе запишите больший из корней» и «запишите меньший» встречаются одинаково часто, и правильно решённое уравнение с неправильно выбранным корнем стоит того же нуля баллов, что и нерешённое.
Если дискриминант получился отрицательным, это сигнал перепроверить знаки: в задании 17 базового уровня корень всегда существует и почти всегда целый.
Вопрос на проверку
Найдите корень уравнения 4x + 12 = −4.
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Корни уравнения x² − 9x + 20 = 0 равны:
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
Сколько корней у уравнения x² − 6x = 0?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №17 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №17 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №17 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.