ОГЭ 2027 · Математика
Задание 8 ОГЭ по математике
Что проверяет линия, сколько она стоит, на чём теряют баллы и как решать — по нашим конспектам. В банке 200+ заданий этой линии с разбором.
Аналитика ОГЭ: №8 — значение выражения со степенями, корнями или буквами
- Баллы
- 1 первичный балл
- Частота
- в каждом варианте
- Сложность
- базовый
Частые ловушки
- При умножении степеней перемножают показатели вместо сложения
- Считают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число
- Раскрывают (3√2)² как 3 · 2 вместо 9 · 2
- Пробуют «сократить» √(a + b) до √a + √b — такого свойства нет
- Забывают домножить на сопряжённое в дробях с корнем в знаменателе
Совет. Три действия закрывают почти весь номер: сложить показатели, внести число под корень, применить разность квадратов
Аналитика ОГЭ: №8 (преобразование выражений) и №20 (уравнения и неравенства второй части)
- Баллы
- 1 балл за №8, 2 балла за №20
- Частота
- в каждом варианте
- Сложность
- базовый в №8, повышенный в №20
Частые ловушки
- Раскрывают скобки после минуса, не меняя знаки всех слагаемых
- Сокращают дробь по слагаемым, а не по множителям: (x + 3)/3 ≠ x
- Забывают ОДЗ: знаменатель не равен нулю, найденный корень нужно проверить
- Путают (a − b)² и a² − b²: это разные формулы
- Выносят общий множитель, но теряют единицу в скобке: 2a² + a = a(2a + 1), а не a · 2a
Совет. Прежде чем считать, разложи всё на множители: и числитель, и знаменатель. Почти всякое задание 8 после этого сокращается в одну строку
Разборы
Разбор примера
Отрицательный показатель у дроби
Найдите значение выражения (0,5)⁻³.
Показать решение по шагам
- 1. Отрицательный показатель означает «единица, делённая на степень»: (0,5)⁻³ = 1 : (0,5)³.
- 2. Считаем куб: (0,5)³ = 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125.
- 3. Делим: 1 : 0,125 = 8.
- 4. Короткий путь: 0,5 = 1/2, а (1/2)⁻³ = 2³ = 8. Отрицательный показатель переворачивает дробь, и это самый быстрый способ.
- 5. Проверка знака: результат 8 положителен. Ответ «−8» получился бы, если перепутать отрицательный показатель со знаком минус перед числом.
Ответ: Ответ: 8
Разбор примера
Сумма двух дробей с корнями
Найдите значение выражения 1/(3 + √5) + 1/(3 − √5).
Показать решение по шагам
- 1. Знаменатели сопряжены, поэтому их произведение — общий знаменатель — считается по разности квадратов: (3 + √5)(3 − √5) = 3² − (√5)² = 9 − 5 = 4.
- 2. Приводим дроби к общему знаменателю: первая дробь получает множитель (3 − √5), вторая — множитель (3 + √5).
- 3. Числитель: (3 − √5) + (3 + √5) = 6, корни взаимно уничтожаются.
- 4. Значение дроби: 6/4 = 1,5.
- 5. Смысл приёма: домножение на сопряжённое — единственный способ убрать корень из знаменателя, и он же превращает громоздкую сумму в обычное деление.
Ответ: Ответ: 1,5
Разбор примера
Степень произведения с корнем
Найдите значение выражения (3√2)².
Показать решение по шагам
- 1. Возводим в квадрат каждый множитель: (3√2)² = 3² · (√2)².
- 2. 3² = 9.
- 3. (√2)² = 2.
- 4. Перемножаем: 9 · 2 = 18.
- 5. Неверный ход, который встречается чаще всего: посчитать 3 · 2 = 6 или 3² · 2² = 36. Квадрат корня снимает корень, но не возводит подкоренное число в квадрат.
Ответ: Ответ: 18
Разбор примера
Задание 8 демоверсии ОГЭ 2026: сумма дробей с сопряжёнными знаменателями
Найдите значение выражения 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3).
Показать решение по шагам
- 1. Знаменатели 2 + √3 и 2 − √3 — сопряжённые: отличаются только знаком перед корнем. Их произведение считается по формуле разности квадратов: (2 + √3)(2 − √3) = 2² − (√3)² = 4 − 3 = 1.
- 2. Общий знаменатель дробей равен как раз этому произведению, то есть 1. Это и есть весь фокус задания: иррациональность исчезает.
- 3. Приводим к общему знаменателю: 1/(2 + √3) + 1/(2 − √3) = ((2 − √3) + (2 + √3)) / ((2 + √3)(2 − √3)).
- 4. В числителе корни взаимно уничтожаются: 2 − √3 + 2 + √3 = 4.
- 5. Получаем 4 : 1 = 4.
- 6. Прикидка: √3 ≈ 1,73, значит первая дробь ≈ 1 : 3,73 ≈ 0,27, вторая ≈ 1 : 0,27 ≈ 3,73; сумма ≈ 4. Сошлось.
Ответ: Ответ: 4
Разбор примера
Степени с целым показателем: три правила подряд
Найдите значение выражения: а) 5⁷ · 5⁻⁵; б) (2⁻³)² · 2⁷; в) (3⁴ · 3⁻²) : 3³.
Показать решение по шагам
- 1. а) При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают: 5⁷ · 5⁻⁵ = 5⁷⁺⁽⁻⁵⁾ = 5² = 25.
- 2. б) При возведении степени в степень показатели перемножают: (2⁻³)² = 2⁻⁶. Дальше умножаем: 2⁻⁶ · 2⁷ = 2⁻⁶⁺⁷ = 2¹ = 2.
- 3. в) Сначала скобка: 3⁴ · 3⁻² = 3². Затем деление — показатели вычитают: 3² : 3³ = 3²⁻³ = 3⁻¹ = 1/3.
- 4. Про знак. Отрицательный показатель означает переворот, а не минус: 3⁻¹ = 1/3, а не −3. Ответ 1/3 в бланк ОГЭ записывают десятичной дробью, если она конечная; здесь 1/3 = 0,333… бесконечна, поэтому такой вариант в задании 8 обычно и не встречается — это признак того, что где-то потерян знак.
- 5. Контроль без правил: 5⁷ · 5⁻⁵ = 5⁷ : 5⁵ = 78125 : 3125 = 25.
Ответ: Ответ: а) 25; б) 2; в) 1/3
Уроки по этой линии
- Задание 8: степени, корни и преобразование выражений
- Буквенные выражения, многочлены и алгебраические дроби
Потренируй задание 8
Задания этой линии с проверкой и разбором решения — после бесплатной регистрации. Ошибки сами попадут в план повторения.