Задание 23 ОГЭ по математике

1. 1. Делаем чертёж и подписываем данные. Отмечаем, что MN ∥ AC.
2. 2. Обосновываем подобие: у треугольников BMN и BAC угол B общий, а углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB. Значит треугольники подобны по двум углам.
3. 3. Находим коэффициент подобия. Сторона BA = BM + MA = 4 + 6 = 10. Тогда k = BM / BA = 4 / 10 = 0,4.
4. 4. В подобных треугольниках все соответственные стороны относятся как k, значит MN / AC = 0,4.
5. 5. Отсюда MN = 0,4 · AC = 0,4 · 20 = 8.
6. 6. Проверка на правдоподобие: MN должна быть меньше AC, потому что отсечённый треугольник меньше исходного. 8 < 20 — сходится.
7. 7. Ответ: 8. Частая ошибка — взять отношение BM / MA = 4/6 вместо BM / BA = 4/10: коэффициент подобия считается по целым сторонам, а не по их частям.

Ответ: Ответ: 8

1. 1. Высоты в условии нет, углы неизвестны, зато известны все три стороны — это прямое указание на формулу Герона.
2. 2. Считаем полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21.
3. 3. Находим разности: p − a = 21 − 13 = 8; p − b = 21 − 14 = 7; p − c = 21 − 15 = 6.
4. 4. Подставляем в формулу: S = √(21 · 8 · 7 · 6).
5. 5. Считаем произведение по частям: 21 · 8 = 168; 7 · 6 = 42; 168 · 42 = 7056.
6. 6. Извлекаем корень: √7056 = 84, потому что 84² = 7056.
7. 7. Ответ: 84. Проверка правдоподобия: у треугольника со сторонами около 14 площадь не может превышать ½ · 14 · 15 = 105 (это случай прямого угла между ними), и 84 в эти рамки укладывается.

Ответ: Ответ: 84

1. 1. Известны две стороны и угол между ними — это ровно тот случай, для которого существует формула S = ½ · a · b · sin γ.
2. 2. Проверяем, что угол B действительно лежит между сторонами AB и BC. Да: обе стороны выходят из вершины B.
3. 3. Вспоминаем табличное значение: sin 30° = 0,5.
4. 4. Подставляем: S = ½ · 8 · 10 · 0,5.
5. 5. Считаем: ½ · 8 = 4; 4 · 10 = 40; 40 · 0,5 = 20.
6. 6. Ответ: 20.
7. 7. Заметь: если бы угол был равен 90°, sin 90° = 1 и площадь была бы ½ · 8 · 10 = 40 — вдвое больше. Это разумный верхний предел для такой пары сторон, и он подтверждает правдоподобие ответа.

Ответ: Ответ: 20

1. 1. Чертёж: равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 25 — боковые стороны, AC = 30 — основание. Нужна высота, опущенная на боковую сторону, скажем AK ⊥ BC. Сразу отметим: высота к боковой стороне и высота к основанию — разные отрезки, и путать их нельзя.
2. 2. Прямо посчитать AK трудно: в треугольнике AKB известна только гипотенуза AB = 25. Значит нужен обходной путь, и он здесь стандартный — площадь треугольника можно выразить через любую сторону и высоту к ней. Посчитаем площадь через удобную пару и подставим в неудобную.
3. 3. Шаг 1. Находим высоту к основанию — её посчитать легко. В равнобедренном треугольнике высота BH к основанию является и медианой, значит AH = HC = 30 : 2 = 15.
4. 4. Шаг 2. По теореме Пифагора в треугольнике ABH: BH² = AB² − AH² = 25² − 15² = 625 − 225 = 400, значит BH = 20.
5. 5. Шаг 3. Считаем площадь через основание: S = ½ · AC · BH = ½ · 30 · 20 = 300.
6. 6. Шаг 4. Ту же площадь выражаем через боковую сторону и искомую высоту: S = ½ · BC · AK, то есть 300 = ½ · 25 · AK.
7. 7. Отсюда AK = 600 : 25 = 24.
8. 8. Ответ: 24.
9. 9. Приём, который здесь сработал, стоит запомнить в общем виде: площадь — это мост между сторонами. Если для одной пары «сторона — высота» данных хватает, а для другой нет, площадь считают по первой паре и подставляют во вторую: h = 2S / a. Этим же приёмом решается задача «стороны 25, 29 и 36, найдите высоту к большей стороне»: площадь по формуле Герона, затем h = 2S / 36.
10. 10. Проверка правдоподобия. Высота к большей стороне всегда меньше высоты к меньшей: площадь одна, а множитель больше. Основание 30 больше боковой стороны 25, значит высота к основанию (20) должна быть меньше высоты к боковой стороне (24). Сходится. Кроме того, высота к боковой стороне обязана быть меньше любой стороны, из которой она выходит: 24 < 25 — верно.
11. 11. И про оформление, потому что в линии 23 два балла ставят по ходу решения. Записывают не цепочку чисел, а строки с обоснованиями: «высота равнобедренного треугольника к основанию является медианой, поэтому AH = 15»; «по теореме Пифагора BH = 20»; «S = ½ · 30 · 20 = 300»; «с другой стороны, S = ½ · 25 · AK, откуда AK = 24». Названная теорема и слово «с другой стороны» — это и есть то, за что ставят первый балл.

Ответ: 24