ОГЭ · Математика · Часть 2: геометрия, развёрнутый ответ (№23–25)
Расчётные задачи по геометрии (№23)
Задание 23 — вычислительная задача по геометрии на 2 балла. Ответ должен быть не просто числом: каждый шаг требует ссылки на теорему или свойство, иначе балл снижают даже при верном ответе.
- ⚠Пропускают ссылку на теорему
- ⚠Ошибаются в подобии (какие стороны соответствуют)
- ⚠Теряют обоснование при вычислениях
Часть 2: расчётная геометрия
Определение
Расчётная задача №23 — нужно обоснованно вычислить длину, площадь или радиус. В решении обязательны ссылки на теоремы (Пифагора, подобие, синусов, формула Герона)
| Подобие треугольников | отношение сторон = коэффициент подобия |
|---|---|
| Формула Герона | S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), p — полупериметр |
| Высота к гипотенузе | h = (a·b)/c |
| Площадь через синус | S = ½ a b sin γ |
Как выглядит решение на два балла
Эксперт ищет в работе три вещи. Первое — чертёж. Он не обязателен формально, но без него легко перепутать, какие стороны соответственные, и почти невозможно объяснить решение. Рисуй схематично, но подписывай все данные из условия прямо на чертеже. Второе — обоснование каждого шага. Недостаточно написать «AH = 7». Нужно: «треугольник ADH прямоугольный, так как AH — высота, значит по теореме Пифагора AH = √(AD² − DH²)». Формулировки вроде «по теореме Пифагора», «по свойству средней линии», «треугольники подобны по двум углам», «сумма углов треугольника равна 180°» — это и есть то, за что ставят второй балл. Третье — доведённые до числа вычисления и ответ. Типичные сюжеты линии 23 повторяются из года в год: подобие треугольников (прямая, параллельная стороне; пересекающиеся хорды; секущие), теорема Пифагора в разных конфигурациях, площадь через формулы (треугольник, трапеция, ромб, площадь через синус угла), свойства ромба, параллелограмма и трапеции, вписанная и описанная окружности. Проверяй ответ на правдоподобие: катет не может быть длиннее гипотенузы, высота треугольника — больше его наибольшей стороны, а площадь — отрицательной.
Ловушка: у ромба все стороны равны, поэтому сторона = сумме отрезков, на которые её делит высота. Если высота AH делит сторону CD на отрезки DH = 24 и CH = 1, то CD = 24 + 1 = 25, а значит и AD = 25. Дальше по теореме Пифагора AH = √(25² − 24²) = 7.
| Теорема Пифагора | c² = a² + b²; катет = √(c² − b²) |
|---|---|
| Площадь треугольника | S = ½ a·h; через синус S = ½ ab·sin γ; формула Герона S = √(p(p−a)(p−b)(p−c)), где p — полупериметр |
| Высота к гипотенузе | h = (a·b)/c; получается из равенства двух выражений для площади |
| Площадь трапеции | S = (a + b)/2 · h, где a и b — основания |
| Площадь ромба | S = a·h или S = ½ d₁·d₂ через диагонали; диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам |
| Средняя линия | треугольника — половина основания; трапеции — полусумма оснований |
| Подобие | если прямая параллельна стороне треугольника, отсечённый треугольник подобен исходному; отношение сторон = коэффициент подобия k, отношение площадей = k² |
| Вписанная окружность в прямоугольный треугольник | r = (a + b − c)/2 |
| Описанная окружность | у прямоугольного треугольника центр — середина гипотенузы, R = c/2 |
Оформление №23
• Сделай чертёж и обозначь данные.
• Назови теорему/свойство, которое применяешь.
• Доведи вычисления до числа.
• Проверь размерность и правдоподобие ответа.
Задание №23 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Разбор примера
Разбор: подобие треугольников
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает сторону AB в точке M, а сторону BC — в точке N. Известно, что BM = 4, MA = 6, AC = 20. Найдите MN.
Показать решение по шагам
- 1. Делаем чертёж и подписываем данные. Отмечаем, что MN ∥ AC.
- 2. Обосновываем подобие: у треугольников BMN и BAC угол B общий, а углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых MN и AC и секущей AB. Значит треугольники подобны по двум углам.
- 3. Находим коэффициент подобия. Сторона BA = BM + MA = 4 + 6 = 10. Тогда k = BM / BA = 4 / 10 = 0,4.
- 4. В подобных треугольниках все соответственные стороны относятся как k, значит MN / AC = 0,4.
- 5. Отсюда MN = 0,4 · AC = 0,4 · 20 = 8.
- 6. Проверка на правдоподобие: MN должна быть меньше AC, потому что отсечённый треугольник меньше исходного. 8 < 20 — сходится.
- 7. Ответ: 8. Частая ошибка — взять отношение BM / MA = 4/6 вместо BM / BA = 4/10: коэффициент подобия считается по целым сторонам, а не по их частям.
Ответ: Ответ: 8
Разбор примера
Разбор: площадь по формуле Герона
Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найдите площадь треугольника.
Показать решение по шагам
- 1. Высоты в условии нет, углы неизвестны, зато известны все три стороны — это прямое указание на формулу Герона.
- 2. Считаем полупериметр: p = (13 + 14 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21.
- 3. Находим разности: p − a = 21 − 13 = 8; p − b = 21 − 14 = 7; p − c = 21 − 15 = 6.
- 4. Подставляем в формулу: S = √(21 · 8 · 7 · 6).
- 5. Считаем произведение по частям: 21 · 8 = 168; 7 · 6 = 42; 168 · 42 = 7056.
- 6. Извлекаем корень: √7056 = 84, потому что 84² = 7056.
- 7. Ответ: 84. Проверка правдоподобия: у треугольника со сторонами около 14 площадь не может превышать ½ · 14 · 15 = 105 (это случай прямого угла между ними), и 84 в эти рамки укладывается.
Ответ: Ответ: 84
Разбор примера
Разбор: площадь через синус угла
В треугольнике ABC известно, что AB = 8, BC = 10, а угол B равен 30°. Найдите площадь треугольника ABC.
Показать решение по шагам
- 1. Известны две стороны и угол между ними — это ровно тот случай, для которого существует формула S = ½ · a · b · sin γ.
- 2. Проверяем, что угол B действительно лежит между сторонами AB и BC. Да: обе стороны выходят из вершины B.
- 3. Вспоминаем табличное значение: sin 30° = 0,5.
- 4. Подставляем: S = ½ · 8 · 10 · 0,5.
- 5. Считаем: ½ · 8 = 4; 4 · 10 = 40; 40 · 0,5 = 20.
- 6. Ответ: 20.
- 7. Заметь: если бы угол был равен 90°, sin 90° = 1 и площадь была бы ½ · 8 · 10 = 40 — вдвое больше. Это разумный верхний предел для такой пары сторон, и он подтверждает правдоподобие ответа.
Ответ: Ответ: 20
Разбор примера
Разбор №23: площадь считаем дважды
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 30. Найдите высоту, проведённую к боковой стороне.
Показать решение по шагам
- 1. Чертёж: равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC = 25 — боковые стороны, AC = 30 — основание. Нужна высота, опущенная на боковую сторону, скажем AK ⊥ BC. Сразу отметим: высота к боковой стороне и высота к основанию — разные отрезки, и путать их нельзя.
- 2. Прямо посчитать AK трудно: в треугольнике AKB известна только гипотенуза AB = 25. Значит нужен обходной путь, и он здесь стандартный — площадь треугольника можно выразить через любую сторону и высоту к ней. Посчитаем площадь через удобную пару и подставим в неудобную.
- 3. Шаг 1. Находим высоту к основанию — её посчитать легко. В равнобедренном треугольнике высота BH к основанию является и медианой, значит AH = HC = 30 : 2 = 15.
- 4. Шаг 2. По теореме Пифагора в треугольнике ABH: BH² = AB² − AH² = 25² − 15² = 625 − 225 = 400, значит BH = 20.
- 5. Шаг 3. Считаем площадь через основание: S = ½ · AC · BH = ½ · 30 · 20 = 300.
- 6. Шаг 4. Ту же площадь выражаем через боковую сторону и искомую высоту: S = ½ · BC · AK, то есть 300 = ½ · 25 · AK.
- 7. Отсюда AK = 600 : 25 = 24.
- 8. Ответ: 24.
- 9. Приём, который здесь сработал, стоит запомнить в общем виде: площадь — это мост между сторонами. Если для одной пары «сторона — высота» данных хватает, а для другой нет, площадь считают по первой паре и подставляют во вторую: h = 2S / a. Этим же приёмом решается задача «стороны 25, 29 и 36, найдите высоту к большей стороне»: площадь по формуле Герона, затем h = 2S / 36.
- 10. Проверка правдоподобия. Высота к большей стороне всегда меньше высоты к меньшей: площадь одна, а множитель больше. Основание 30 больше боковой стороны 25, значит высота к основанию (20) должна быть меньше высоты к боковой стороне (24). Сходится. Кроме того, высота к боковой стороне обязана быть меньше любой стороны, из которой она выходит: 24 < 25 — верно.
- 11. И про оформление, потому что в линии 23 два балла ставят по ходу решения. Записывают не цепочку чисел, а строки с обоснованиями: «высота равнобедренного треугольника к основанию является медианой, поэтому AH = 15»; «по теореме Пифагора BH = 20»; «S = ½ · 30 · 20 = 300»; «с другой стороны, S = ½ · 25 · AK, откуда AK = 24». Названная теорема и слово «с другой стороны» — это и есть то, за что ставят первый балл.
Ответ: 24
Вопрос на проверку
Коэффициент подобия двух треугольников равен 3. Во сколько раз отличаются их площади?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Вопрос на проверку
В прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8. Чему равен радиус описанной окружности?
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Слова, которые обязаны появиться в решении. «Так как… по теореме Пифагора», «треугольники подобны по двум углам», «углы равны как соответственные при параллельных прямых», «у ромба все стороны равны», «диагонали ромба перпендикулярны», «высота перпендикулярна основанию, значит треугольник прямоугольный». Если в работе есть верные вычисления, но нет ни одной такой фразы, эксперт поставит 1 балл вместо 2.
Задание №23 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №23 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.
Задание №23 в формате экзамена
Ответить и проверить себя — после бесплатной регистрации.