Задание 22 ОГЭ по математике

1. 1. Записываем ОДЗ: знаменатель не равен нулю, значит x ≠ −3.
2. 2. Раскладываем числитель по формуле разности квадратов: x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
3. 3. Сокращаем на (x + 3), помня об ОДЗ: y = x − 3 при x ≠ −3.
4. 4. Значит график — это прямая y = x − 3, из которой выколота одна точка.
5. 5. Находим координаты выколотой точки: x = −3, y = −3 − 3 = −6. Точка (−3; −6) на графике отсутствует.
6. 6. Горизонтальная прямая y = m пересекает прямую y = x − 3 ровно в одной точке при любом m. Но если m = −6, единственная точка пересечения оказывается ровно выколотой.
7. 7. Значит общих точек нет только при m = −6. Ответ: m = −6.
8. 8. На чертеже выколотую точку обязательно изображают светлым кружком — без этого эксперт не увидит ключевую деталь решения.

Ответ: Ответ: m = −6

1. 1. Функция чётная: замена x на −x ничего не меняет, значит график симметричен относительно оси Oy.
2. 2. Строим правую часть, при x ≥ 0: y = x² − 2x − 3. Это парабола ветвями вверх.
3. 3. Вершина: xв = −b/(2a) = 2/2 = 1, yв = 1 − 2 − 3 = −4. Значит минимум в точке (1; −4).
4. 4. Значение в нуле: y(0) = −3. Правая ветвь пересекает ось x при x² − 2x − 3 = 0, то есть при x = 3 (корень x = −1 в область x ≥ 0 не входит).
5. 5. Отражаем построенное влево: получаем минимумы в точках (±1; −4), локальный максимум в (0; −3) и нули при x = ±3.
6. 6. Считаем пересечения с прямой y = m, двигая её снизу вверх: при m < −4 их нет; при m = −4 — две (обе вершины); при −4 < m < −3 — четыре; при m = −3 — прямая проходит через точку излома, и число точек меняется; при m > −3 — две.
7. 7. Проверим уровень m = −3 подстановкой: x² − 2|x| − 3 = −3 даёт x² − 2|x| = 0, то есть |x|(|x| − 2) = 0, откуда x = 0 и x = ±2 — ровно три точки. Подтверждено.
8. 8. Ответ: m = −3.

Ответ: Ответ: m = −3

1. 1. Отличаем два вида модуля в линии 22, потому что строятся они по-разному. В функции y = x² − 2|x| модуль стоит при аргументе: график симметричен относительно оси Oy, правую ветвь отражают налево. Здесь модуль стоит вокруг всего выражения: значит берут обычный график y = x² − 4 и всё, что ниже оси Ox, отражают вверх.
2. 2. Шаг 1. Строим вспомогательный график y = x² − 4. Это парабола с ветвями вверх, вершина в точке (0; −4), нули при x = −2 и x = 2.
3. 3. Шаг 2. Отражаем. Часть между корнями (там y отрицателен) уходит вверх: вершина (0; −4) переходит в (0; +4). Части слева от −2 и справа от 2 остаются на месте, они и так выше оси.
4. 4. Получился график в форме двух «горбов» по краям и одной арки в середине: ветви уходят вверх от точек (−2; 0) и (2; 0), между ними арка, поднимающаяся до точки (0; 4). Точки (−2; 0) и (2; 0) — изломы, в них график касается оси и меняет направление.
5. 5. Шаг 3. Мысленно двигаем горизонтальную прямую y = m снизу вверх и считаем точки пересечения на каждом уровне.
6. 6. m < 0: прямая ниже всего графика — 0 точек (модуль неотрицателен). m = 0: прямая проходит через оба излома — 2 точки, x = −2 и x = 2. 0 < m < 4: прямая режет и обе внешние ветви, и арку с двух сторон — 4 точки. m = 4: прямая проходит через вершину арки (одна точка, x = 0) и через обе внешние ветви — 3 точки. m > 4: арка уже ниже прямой, остаются только внешние ветви — 2 точки.
7. 7. Ровно три общие точки получаются при m = 4.
8. 8. Ответ: m = 4.
9. 9. Заметьте закономерность, которая объясняет, почему трёх точек бывает ровно одно значение. Три — число нечётное, а график симметричен относительно оси Oy. Значит одна из трёх точек обязана лежать на самой оси, то есть быть вершиной. Нечётное число точек на симметричном графике всегда достигается на уровне экстремума, и искать надо именно его.
10. 10. Найдём для того же графика и другие ответы, которые спрашивают в банке. Ровно две точки: m = 0 и m > 4. Ровно четыре: 0 < m < 4. Ни одной: m < 0. Выписав таблицу «уровень — число точек» один раз, вы отвечаете на любой из этих вопросов, а не только на заданный.
11. 11. И главная ошибка этого типа: спутать y = |x² − 4| с y = x² − |4x| или с y = |x|² − 4. Второе — модуль при аргументе, третье — вообще та же парабола x² − 4, потому что |x|² = x². Прежде чем строить, определите, что именно стоит под модулем: выражение целиком, только x или ничего существенного.

Ответ: m = 4

1. 1. Здесь модуль не окружает всё выражение и не стоит при одиноком x: он входит множителем. Значит отражением не обойтись, надо раскрыть модуль по промежуткам. Точка, где выражение под модулем меняет знак, — это x = 2.
2. 2. Шаг 1. Раскрываем. При x ≥ 2 выражение x − 2 неотрицательно, модуль снимается как есть: y = x(x − 2) = x² − 2x. При x < 2 выражение отрицательно, модуль меняет знак: y = x(2 − x) = 2x − x².
3. 3. Шаг 2. Строим каждый кусок на своём промежутке, и это самое важное: кусок рисуют не целиком, а только там, где он действует.
4. 4. Кусок для x < 2: y = 2x − x² = −(x² − 2x) — парабола ветвями вниз, вершина в точке (1; 1) (абсцисса вершины x = −b/2a = −2/(−2) = 1, значение y = 2 · 1 − 1 = 1), нули при x = 0 и x = 2. Берём её левее x = 2: график приходит из минус бесконечности, проходит через (0; 0), поднимается до (1; 1) и спускается к (2; 0).
5. 5. Кусок для x ≥ 2: y = x² − 2x — парабола ветвями вверх, вершина в (1; −1), но эта вершина лежит вне нашего промежутка. Берём только правее x = 2: график выходит из точки (2; 0) и монотонно растёт.
6. 6. Шаг 3. Сводим картину воедино. Слева график поднимается из минус бесконечности до локального максимума (1; 1), затем опускается до (2; 0), а дальше снова неограниченно растёт. Точка (2; 0) — локальный минимум и точка излома; график непрерывен, разрывов нет.
7. 7. Шаг 4. Двигаем прямую y = m и считаем. m < 0: график ниже нуля только на левой убегающей ветви — 1 точка. m = 0: прямая проходит через (0; 0) и через (2; 0) — 2 точки. 0 < m < 1: прямая режет левую восходящую ветвь, левую нисходящую ветвь и правую восходящую — 3 точки. m = 1: прямая проходит через вершину (1; 1), где две точки сливаются в одну, плюс правая ветвь — 2 точки. m > 1: остаются левая восходящая и правая восходящая — 2 точки.
8. 8. Ровно три точки получаются при 0 < m < 1.
9. 9. Ответ: 0 < m < 1.
10. 10. Обратите внимание, что ответом здесь оказался промежуток, а не отдельное значение. Так бывает, когда график не симметричен: у несимметричного графика три точки набираются на целом интервале уровней, а у симметричного (как y = |x² − 4|) — только на уровне вершины. Поэтому первым делом стоит посмотреть, симметричен ли график: это подсказывает, какого вида будет ответ.
11. 11. И рабочее правило раскрытия модуля, которое здесь применялось. Найти точку, где подмодульное выражение равно нулю; записать два случая с противоположным знаком; строить каждый кусок только на своём промежутке. Самая частая ошибка — построить обе параболы полностью: тогда на графике появляются лишние ветви, которых у функции нет, и число точек пересечения получается неверным.

Ответ: 0 < m < 1